Şimdi, kronolojik sırayla, asal sayılar arasındaki ilişkiyi bulmaya veya doğrudan asal
üretmeye çalışan başlıca fikirleri inceleyeceğiz. Her birinin ne işe yaradığını,
nerede bozulduğunu ve neden önemli olduğunu göreceğiz.
Renkli etiketler size her yöntemin "kaderini" baştan gösterecek:
MÖ ~300
Euclid: Asallar tükenmez
Euclid, "Elementler", Kitap IX
Hikâyemiz bir formülle değil, bir soruyla başlıyor:
Asal sayılar bir gün biter mi? Yoksa sonsuza kadar sürer mi?
Euclid bu soruyu, matematik tarihinin en zarif kanıtlarından biriyle cevapladı.
Mantığı şöyle: diyelim ki sadece sonlu sayıda asal var,
\(p_1, p_2, \dots, p_k\). Şimdi tüm bu
asalları çarpıp üzerine 1 ekleyelim:
\[ N = (p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k) + 1 \]
Bu N sayısını listemizdeki asallardan herhangi birine (\(p_1, p_2, \dots\)) bölmeye
çalışsak, her zaman 1 kalır, çünkü çarpımın kendisi o asala tam
bölünür, ama +1 eklediğimiz için kalan hep 1 olur. Yani N, listemizdeki hiçbir asala
bölünmüyor. Ama her sayı asal çarpanlara ayrılabildiğine göre (Aritmetiğin Temel
Teoremi), N'in listede olmayan bir asal çarpanı olmak zorunda.
Bu da "sadece sonlu sayıda asal var" varsayımıyla çelişir.
Sonuç: asal sayılar sonsuzdur. Bu, tartışmasız ve kesin bir teoremdir,
istisnası yoktur.
her zaman doğru
Ama dikkat: bu bir "üretme" yöntemi değil
Bu kanıt, "asallar bitmez" der ama "sıradaki asal kaçtır" demez. Üstelik
\(N = (p_1\times\cdots\times p_k)+1\) ifadesinin kendisi de her zaman
asal olmak zorunda değildir, sadece listede olmayan bir asal çarpanı
olduğunu garanti eder. Örneğin 2×3×5×7×11×13+1 = 30031 = 59×509'dur,
yani kendisi bileşiktir, ama 59 ve 509 listede yoktu; kanıt
yine de doğru çalışır.
MÖ ~240
Eratosthenes Kalburu
Eratosthenes (Kyrene)
Asalların sonsuz olduğunu bilmek bir şey, 1'den 100'e kadar olanları
bulmak başka bir şey. Eratosthenes'in yöntemi son derece basit ve hâlâ
kullanılıyor:
- 2'den N'e kadar tüm sayıları yazın.
- 2'yi asal olarak işaretleyin, 2'nin katlarının (4, 6, 8, …) hepsini silin.
- Silinmemiş ilk sayıyı (3) asal işaretleyin, onun katlarını silin.
- Bu işlemi \(\sqrt{N}\)'e kadar tekrarlayın. Geriye kalan tüm sayılar asaldır.
her zaman doğru
Neden kusursuz çalışıyor?
Çünkü bileşik bir sayının her zaman kendisinden küçük bir asal
böleni vardır, ve bu bölen \(\sqrt{N}\)'den küçük olmak zorundadır (eğer iki
çarpanı da \(\sqrt N\)'den büyük olsaydı, çarpımları N'i aşardı). Yani \(\sqrt N\)'e
kadar olan asalların katlarını eleyince, kalanların hepsi gerçekten asaldır.
Bu, 1'den N'e kadar tüm asalları %100 doğrulukla verir.
üretmez, test eder
Peki neden "formül" değil?
Çünkü "kapalı bir ifade" değil, bir işlem listesidir (algoritma).
"100. asal sayı nedir?" diye sorduğunuzda, doğrudan hesaplayamazsınız, 1'den
başlayıp elemeyi yapmanız gerekir. N büyüdükçe işlem sayısı da hızla büyür. Yine
de bugün bile bilgisayarlar küçük-orta ölçekli asalları bulmak için bu yöntemin
(veya gelişmiş varyantlarının) kullanır, 2300 yıllık fikir hâlâ işe yarıyor!
1644
Mersenne Sayıları: \(2^p - 1\)
Marin Mersenne
17. yüzyılda matematikçiler, asalları "ailelere" ayırarak avlamaya başladı.
Fransız keşiş Marin Mersenne, şu biçimdeki sayılara odaklandı:
\[ M_p = 2^{p} - 1 \]
Burada p'nin kendisi de asal olmalı (eğer p bileşikse \(2^p-1\)
de kesin olarak bileşik çıkar, bu kısım garanti). Mersenne, p asal olduğunda
\(M_p\)'nin de genellikle asal olacağını umuyordu ve 1644'te bir liste yayınladı.
| p (asal) | \(2^p-1\) | Sonuç |
|---|
| 2 | 3 | Asal ✓ |
| 3 | 7 | Asal ✓ |
| 5 | 31 | Asal ✓ |
| 7 | 127 | Asal ✓ |
| 11 | 2047 | 23 × 89, bileşik ✗ |
| 13 | 8191 | Asal ✓ |
burada bozulur
p = 11'de duruyor
\(2^{11}-1 = 2047 = 23 \times 89\). p asal olsa da \(2^p-1\) çoğu zaman bileşiktir;
bugüne kadar sadece 52 tane Mersenne asalı biliniyor (2024 itibarıyla).
İlginç bilgi: Mersenne'in orijinal 1644 listesi bile hatalıydı,
listede yanlışlıkla \(M_{67}\) ve \(M_{257}\)'yi asal saymıştı (değiller),
\(M_{61}\)'i de listeye almamıştı (o asaldır). Bu hatalar ancak 19.-20. yüzyılda
düzeltilebildi, çünkü o kadar büyük sayıları elle kontrol etmek neredeyse
imkânsızdı.
Önemi: Mersenne sayıları sadece bir merak değil. Antik Yunanlılar'dan
beri bilinen "mükemmel sayılar" (kendi bölenlerinin toplamına eşit sayılar,
örn. 6 = 1+2+3) doğrudan Mersenne asallarıyla ilişkilidir. Ve bugün dünyanın en büyük
bilinen asal sayıları (onlarca milyon basamaklı!) hâlâ bu ailenin içinden,
GIMPS adlı gönüllü bir bilgisayar ağı tarafından bulunuyor, bu
hikâyeye 1876 ve 1930'larda tekrar döneceğiz.
1640'lar (çöküş: 1732)
Fermat Sayıları: \(2^{2^n}+1\)
Pierre de Fermat; çöküşünü Leonhard Euler buldu
Aynı dönemde Fermat, başka bir aile öne sürdü:
\[ F_n = 2^{2^n} + 1 \]
| n | \(F_n\) | Sonuç |
|---|
| 0 | 3 | Asal ✓ |
| 1 | 5 | Asal ✓ |
| 2 | 17 | Asal ✓ |
| 3 | 257 | Asal ✓ |
| 4 | 65537 | Asal ✓ |
| 5 | 4294967297 | 641 × 6700417, bileşik ✗ |
Fermat, "tüm \(F_n\)'lerin asal olduğunu" düşünüyordu, ilk beş tanesi (n=0..4)
gerçekten de asaldı! Ama Fermat bunu kanıtlamamış, sadece tahmin
etmişti.
burada bozulur
Euler, 90 yıl sonra çatlağı buldu
1732'de Euler, \(F_5 = 2^{32}+1 = 4{.}294{.}967{.}297\) sayısının
\(641 \times 6{.}700{.}417\) şeklinde çarpanlara ayrıldığını
gösterdi. Bugüne dek \(n=5\)'ten \(n=32\)'ye kadar test edilen hiçbir
Fermat sayısının asal olmadığı kanıtlanmıştır. \(n\ge5\) için asal olan bir
Fermat sayısı olup olmadığı bile bilinmiyor!
Şaşırtıcı bağlantı: 1796'da, henüz 19 yaşındaki Gauss, bir
düzgün çokgenin sadece pergel ve cetvelle çizilebilmesi için kenar sayısının
"Fermat asalı" (ya da bunların belirli çarpımları) ile ilgili bir koşulu
sağlaması gerektiğini gösterdi. Bu yüzden 17 kenarlı bir çokgen pergel-cetvelle
çizilebilir (17 = \(F_2\)) ama 19 kenarlı çizilemez. Saf bir asal sayı merakı,
2000 yıllık bir geometri sorusunu çözdü.
1737
Euler'in Köprüsü: Toplamlar ve Asallar Arasında
Leonhard Euler
Bu, listemizdeki en az bilinen ama en önemli adımlardan biri, çünkü ileride
göreceğimiz Riemann'ın (1859) ve Asal Sayı Teoremi'nin (1896) temelini atıyor.
Euler, şu sonsuz toplamı (her terimi bir önceki üzerine ekleyerek sonsuza kadar
devam eden bir toplam) inceledi:
\[ \zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots \]
Sonsuz bir toplam, bitmiş bir sayıya nasıl eşit olabilir?
İlk bakışta "sonsuz tane sayıyı topluyorsam, sonuç sonsuz olmalı" diye
düşünebilirsiniz. Ama her zaman doğru değil. Şu toplamı düşünün:
\[ \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+\cdots \]
Bir kağıdı önce yarıya, sonra kalan yarısının yarısına, sonra onun da
yarısına... böyle bölmeye devam edin. Sonsuz kez bölseniz de, parçaların
toplamı kağıdın tamamını (yani 1'i) aşamaz, ona sonsuza
kadar yaklaşır. İşte bu toplam tam olarak 1'e
eşittir. Bu tür "sonsuz ama sınırlı kalan" toplamlara yakınsak
seri denir.
\(\zeta(s)\) de, \(s>1\) olduğunda, tam olarak bu şekilde belirli (sonlu) bir
sayıya yakınsar. Örneğin \(\zeta(2) = 1+\tfrac14+\tfrac19+\tfrac1{16}+\cdots =
\tfrac{\pi^2}{6}\) (evet, π burada da karşımıza çıkıyor!). Riemann'ın
(madde 12) yaptığı asıl sihir, bu fonksiyonu \(s\le1\) için de, "analitik
devam" denen bir teknikle anlamlı kılmasıdır.
Ve şaşırtıcı bir şey buldu: bu toplam, sadece asal sayıları kullanan
sonsuz bir çarpıma da eşitti:
\[ \zeta(s) = \prod_{p \text{ asal}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\cdots \]
her zaman doğru
Bu eşitlik neden devrim yaratıyor?
Çünkü solda tüm sayılar (1,2,3,4,…) üzerinden basit bir toplam,
sağda sadece asallar üzerinden bir çarpım var. İkisi birbirine
eşit! Bu, asal sayıların "gizli yapısının", normal sayıların toplamının içine
kodlu olduğu anlamına gelir. Euler bunu kullanarak Euclid'in
"asallar sonsuzdur" sonucunu tamamen farklı bir yoldan
(analiz/limit yoluyla) yeniden kanıtladı, ilk defa "sayı teorisi" ile
"sürekli matematik" (analiz) birleşti. Bu birleşme, 120 yıl sonra Riemann'ın
elinde devasa bir araca dönüşecek.
1770 / 1771
Wilson Teoremi: Kusursuz ama Kullanışsız
Önerme: John Wilson (Edward Waring aracılığıyla, 1770); Kanıt: Joseph-Louis Lagrange (1771)
Faktöriyel (!) nedir?
\(n!\) ("n faktöriyel"), 1'den n'e kadar olan tüm sayıların çarpımı demektir:
\(5! = 1\times2\times3\times4\times5 = 120\). Çok hızlı büyür: \(10!\) zaten
3 milyon küsür, \(20!\) ise 18 basamaklı bir sayı.
Wilson Teoremi, asallığı tanımlayan inanılmaz zarif bir eşitlik sunar:
\[ n \text{ asaldır} \iff (n-1)! \equiv -1 \pmod{n} \]
Yani: \((n-1)!\)'i \(n\)'e böldüğümüzde kalan, \(n-1\) ise (ki bu "−1 mod n" ile
aynıdır), \(n\) kesinlikle asaldır, ve eğer \(n\) asalsa, bu
her zaman gerçekleşir. Bu bir "⟺" (eğer ve sadece eğer) ifadesidir,
yani teorik olarak %100 kesin bir asallık tanımıdır.
| n | \((n-1)!\) | \((n-1)! \mod n\) | Sonuç |
|---|
| 5 | 24 | 4 = −1 mod 5 | Asal ✓ |
| 6 | 120 | 0 ≠ −1 mod 6 | Bileşik ✓ (doğru tahmin) |
| 7 | 720 | 6 = −1 mod 7 | Asal ✓ |
burada bozulur (pratikte)
Matematiksel olarak değil, hesaplama olarak bozuluyor
Teoremin kendisi hiçbir zaman yanılmaz. Sorun şu:
100 basamaklı bir sayının asallığını test etmek istiyorsanız, 100 basamaklı
sayının faktöriyelini hesaplamanız gerekir; bu, evrendeki atom sayısından
kat kat büyük bir sayı olur. Yani Wilson Teoremi doğru ama
kullanılamaz. Bu, sayfa boyunca tekrar tekrar göreceğimiz bir tema:
"matematiksel olarak kesin" ile "hesaplanabilir" çok farklı şeyler.
1772
Euler'in Ünlü Polinomu: \(n^2-n+41\)
Leonhard Euler
Bu, listenin en ünlü "neredeyse mucizesi". \(n=1,2,3,\dots\) yazdığınızda, bu basit
ifade art arda 40 kez asal sayı üretir:
\[ f(n) = n^2 - n + 41 \]
burada bozulur, nedeni cebirsel!
n = 41'de tam olarak ne oluyor?
\(f(41) = 41^2 - 41 + 41 = 41^2 = 1681\). Bu, \(41\times 41\) olduğu için
tanım gereği bileşiktir. Ama asıl ilginç soru: neden
tam olarak burada?
Cevap modüler aritmetikte gizli. \(f(n) = n^2-n+41\) ifadesini 41'e göre
(mod 41) incelersek, \(41 \equiv 0\), yani \(f(n) \equiv n^2 - n \pmod{41}\).
\(n=41\) yazdığımızda \(f(41) \equiv 41^2-41 \equiv 0 \pmod{41}\), yani
\(f(41)\) her zaman 41'in bir katı olmak zorunda (gerçekten de
\(41^2\)'ye eşit). Bu bir tesadüf değil, ifadenin yapısının
zorunlu bir sonucu.
Genel ders: Matematikçiler, sabit terimi 1'den büyük olan
hiçbir polinomun (derecesi ≥1), tüm doğal sayılar için
yalnızca asal üretemeyeceğini kanıtlamıştır, çünkü polinom,
kendi sabit terimine (burada 41) eşit olan bir girdi için, o sabit terimin
bir katına eşit (ve ondan büyük) bir çıktı vermek zorunda kalır ve bu da bileşik
olur.
"Sınıf sayısı 1" ne demek? (41'in gerçek sırrı)
\(n^2-n+41\)'in tam 40 ardışık asal üretmesi gerçekten özel
ve bunun arkasında üniversite düzeyinde bir konu var, ama fikrini lise
seviyesinde de hissedebilirsiniz.
Normal tam sayılarda (1, 2, 3, …) her sayı, asal çarpanlarına
tek bir şekilde ayrılır (Aritmetiğin Temel Teoremi,
"Temeller" bölümünde gördünüz). Matematikçiler, bu "tek türlü ayrışma"
özelliğinin başka sayı sistemlerinde de geçerli olup
olmadığını sorar. Örneğin, sadece \(a+b\sqrt{-163}\) biçimindeki sayılardan
oluşan bir sistemde (a, b tam sayı) çalışırsanız, bu sistemde de
"asal çarpanlara ayırma" hâlâ tek türlü mü?
\(\sqrt{-163}\) ile kurulan sistem için cevap evet; bu,
"sınıf sayısı 1" olan, sadece 9 tane bilinen özel sistemden
biridir (bunlara Heegner sayıları denir: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163).
İşte 41 sayısı, \(4\times41-1=163\) ilişkisiyle bu listedeki en büyük
sayıya (163) bağlanır. Bu cebirsel "düzenlilik", \(n^2-n+41\) polinomunun
neden bu kadar uzun süre asal ürettiğinin temel nedenidir, basit bir
tesadüf değildir. (163, 67, 43, 19, 11 gibi diğer Heegner sayılarına karşılık
gelen benzer polinomlar da, daha kısa ama benzer "şanslı seriler" üretir.)
Klasik bir gözlem
"6k ± 1" Kuralı ve \(\sqrt{24n+1}\) Filtresi
Belirli bir kişiye atfedilmeyen, modüler aritmetiğin temel bir sonucu
Şimdi modüler aritmetiğe biraz daha yakından bakalım, çünkü ilginç (ama kusurlu)
bir "asal yakalayıcı" ortaya çıkaracak.
3'ten büyük her sayıyı 6'ya bölersek, kalan olarak sadece 0, 1, 2, 3, 4, 5
olabilir. Ama:
- kalan 0, 2, 4 olan sayılar → çift sayıdır (2'ye bölünür)
- kalan 3 olan sayılar → 3'e bölünür
Geriye sadece kalan 1 veya 5 (yani −1) kalıyor.
Demek ki: 3'ten büyük her asal sayı, \(6k+1\) veya \(6k-1\) biçimindedir
(k bir tam sayı). Bu kesin ve kanıtlanabilir bir gerçektir (ama tersi doğru
değildir, 25 ve 35 gibi \(6k\pm1\) biçimindeki bazı sayılar bileşiktir).
Şimdi bir adım daha atalım: \(p=6k\pm1\) ise, \(p^2 = 36k^2 \mp 12k + 1\).
Biraz cebirle (\(k(3k\mp1)\) ifadesinin her zaman çift olduğu gösterilebilir),
\(p^2 - 1\)'in her zaman 24'e tam bölündüğü ortaya çıkar. Yani:
\[ p^2 = 24n+1 \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{24n+1} \]
3'ten büyük her asal p için, p'nin karesi 24n+1 biçimindedir.
İrrasyonel sayı nedir? (√73 neden "çöp" sonuç?)
Bazı sayıların karekökü tam sayı çıkar (\(\sqrt{25}=5\)), bazılarınınki
çıkmaz (\(\sqrt{73}\approx8{,}544\dots\)). \(\sqrt{73}\) gibi, ondalık
kısmı hiç bitmeyen ve hiç tekrarlamayan sayılara
irrasyonel sayı denir (\(\pi\) ve \(\sqrt2\) de
irrasyoneldir).
Aşağıdaki widget'ta \(\sqrt{24n+1}\) hesaplandığında, eğer 24n+1 bir
"tam kare" değilse (yani hiçbir tam sayının karesine eşit değilse), sonuç
irrasyonel çıkar. Bu, formülün asal "üretmediği", sadece bazen
anlamsız bir ara sonuç verdiği anlamına gelir, ne asal
ne de bileşik bir tam sayı, sayı doğrusunda yeri olan ama kesirli/tam
ifade edilemeyen bir değer.
burada bozulur
"Gerekli" ama "yeterli" değil
Yukarıdaki widget'ı denerseniz üç durum göreceksiniz:
- n=3 → \(\sqrt{73}\), tam sayı değil (kök içinde "çöp" bir sonuç)
- n=26 → \(\sqrt{625}=25\), tam sayı ama 25 = 5×5 olduğu için asal değil
- n=1 → \(\sqrt{25}=5\), asal ✓
Yani bu formül, "3'ten büyük her asal bu biçimde olmak zorunda" der (bu kısım
kesin doğru), ama "bu biçimdeki her sayı asaldır" demez,
bu yanlış. Bir filtre/elek olarak değerli (2 ve 3 dışındaki
asalları "kongrüans" açısından sınırlar), ama bir üreteç değil.
1837
Dirichlet: Aritmetik Dizilerde Asallar
Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Yukarıdaki "6k±1" gözlemi şu doğal soruyu akla getiriyor: \(a, a+d, a+2d, a+3d,\dots\)
gibi sabit aralıklı bir dizi alırsak (örneğin 1, 7, 13, 19, 25, … yani \(6k+1\)),
bu dizide sonsuz sayıda asal var mıdır?
Dirichlet, 1837'de Euler'in zeta-çarpım fikrini (madde 5) genelleştirerek bunu
kanıtladı: eğer \(a\) ile \(d\)'nin ortak böleni 1 ise (aralarında asal),
\(a, a+d, a+2d,\dots\) dizisinde sonsuz sayıda asal vardır.
her zaman doğru (koşul altında)
Koşul kritik: ortak bölen 1 olmalı
Eğer \(a\) ve \(d\)'nin ortak böleni 1'den büyükse (örneğin 4, 8, 12, 16, 20, …
dizisinde \(a=4, d=4\), ortak bölen 4), dizideki her sayı da o ortak bölene
bölünür, yani hiç asal olamaz (4'ten büyük olanlar). Dirichlet'in
teoremi tam da bu istisnayı dışarıda bırakarak, geri kalan her
durumda sonsuz asal garantisi veriyor. Ama dikkat: bu bir varoluş
teoremidir, "sonsuz tane var" der ama "kaçıncı terimde çıkar" demez.
1792 / 1798
Gauss ve Legendre: Asallar Ne Sıklıkla Görülür?
Carl Friedrich Gauss (15-16 yaşında, 1792-93) ve Adrien-Marie Legendre (1798)
Doğal logaritma (ln) nedir?
\(\ln x\), "x'i elde etmek için \(e\)'yi (≈2,71828...) kaçıncı kuvvete
çıkarmalıyız?" sorusunun cevabıdır. Önemli olan şu: \(\ln x\), x büyüdükçe
çok çok yavaş büyür. \(\ln(1.000.000) \approx 13{,}8\)'dir,
yani bir milyonun logaritması sadece 14 civarındadır!
Tek tek asalları üretmek yerine, soruyu tersine çevirelim: "1'den x'e kadar
kaç asal var?" Bu sayıyı \(\pi(x)\) ile gösteririz (π burada
"pi sayısı" değil, "prime counting function", asal sayma fonksiyonu demek).
Henüz 15-16 yaşındayken, asal sayı tablolarına bakan Gauss şunu fark etti:
\[ \pi(x) \approx \frac{x}{\ln x} \]
Legendre ise 1798'de (1808'de iyileştirdi) verilere dayanarak biraz daha hassas
bir tahmin önerdi: \(\pi(x) \approx \dfrac{x}{\ln x - 1{,}08366}\).
kusurlu, ama doğru yöne işaret ediyor
Bir tahmin, bir kanıt değil
Bu formüller kesin değil, yaklaşıktır; Legendre'in "1,08366"
sayısı tamamen ampirik (gözlemsel), teorik bir temeli yoktu ve büyük x
değerlerinde doğru asimptotik davranışı yansıtmıyordu. Ama Gauss'un basit
\(x/\ln x\) tahmini, 104 yıl sonra (1896'da, madde 13) tam
olarak kanıtlanacak bir gerçeğin ilk sezgisiydi. Bu, matematikte sıkça görülen
bir örüntü: önce sezgi, sonra ispat.
1845 / 1852
Bertrand Postülası: Her Aralıkta Bir Asal
Önerme: Joseph Bertrand (1845, n < 3.000.000 için doğrulandı); Kanıt: Pafnuty Chebyshev (1852)
Daha mütevazı ama çok kullanışlı bir iddia: her \(n>1\) için, \(n\) ile \(2n\)
arasında en az bir asal sayı vardır.
| n | (n, 2n) aralığı | Bulunan asal |
|---|
| 10 | (10, 20) | 11, 13, 17, 19 |
| 25 | (25, 50) | 29, 31, 37, 41, 43, 47 |
her zaman doğru
Chebyshev, analitik araçlarla kanıtladı
Bertrand bunu 3 milyona kadar elle doğrulamıştı; Chebyshev 1852'de
tüm n için genel bir kanıt verdi (Euler'in zeta fonksiyonuna
benzer analitik teknikler kullanarak). Bu teorem hiçbir asal "üretmez" ama,
"asallar arasındaki boşluklar sonsuza kadar büyüyemez, en azından ikiye
katlanma sınırı içinde kalır" diyerek asalların dağılımı hakkında güçlü bir
garanti verir.
1859
Riemann Hipotezi: Bugünün En Büyük Açık Sorusu
Bernhard Riemann
Euler'in 1737'deki \(\zeta(s)\) fonksiyonunu (madde 5) hatırlayın. Riemann, bu
fonksiyonu karmaşık sayılar için tanımladı ve fonksiyonun
sıfır olduğu noktaları inceledi.
Karmaşık sayılar ve "kritik şerit" ne demek?
Normal sayı doğrusunu düşünün: 0, 1, 2, 3, … sola ve sağa uzanan tek bir
doğru. Karmaşık sayılar, bu doğruyu bir düzleme
genişletir. Yatay eksen "gerçek kısım" (Re), dikey eksen ise
"hayali kısım" (Im) olur. Bir karmaşık sayı \(a+bi\) biçiminde yazılır ve
düzlemde \((a,b)\) noktasına karşılık gelir (\(i\), karesi −1 olan, sayı
doğrusunda yeri olmayan özel bir birimdir).
Riemann, \(\zeta(s)\)'yi bu tüm düzlem üzerinde tanımladı
(Euler'in orijinal toplamı sadece \(\text{Re}(s)>1\) için işe yarıyordu;
Riemann bunu "analitik devam" denen bir teknikle tüm düzleme genişletti).
Sonra şunu sordu: \(\zeta(s)\) hangi noktalarda tam olarak sıfır
olur?
"Önemsiz" bazı sıfırlar (negatif çift tam sayılarda) zaten biliniyordu.
Riemann'ın tahmini, geri kalan tüm "önemsiz olmayan"
sıfırların, düzlemde \(\text{Re}(s)=\tfrac12\) konumundaki
dikey doğru üzerinde toplanacağıydı. Bu doğruya
"kritik şerit" (critical line) denir. Yani Riemann Hipotezi, basitçe,
"bütün önemli sıfırlar bu tek dikey çizgi üzerindedir" diyor.
Riemann, \(\zeta(s)\)'nin "önemsiz olmayan" tüm sıfırlarının, karmaşık düzlemde
gerçek kısmı tam olarak 1/2 olan bir doğru üzerinde olduğunu
tahmin etti:
\[ \text{Re}(s) = \tfrac{1}{2} \quad \text{tüm önemsiz sıfırlar için} \]
Ve Riemann, eğer bu doğruysa, asal sayıların dağılımı hakkında
inanılmaz hassas bir formül elde edilebileceğini gösterdi,
\(\pi(x)\)'in (madde 10'daki asal sayma fonksiyonu) gerçek değerinden ne kadar
sapabileceğine dair en sıkı sınırı verirdi.
hâlâ çözülmedi
167 yıldır kanıtlanamadı
Riemann Hipotezi (RH), Clay Matematik Enstitüsü'nün 7 "Milenyum
Ödülü Problemi"nden biri, çözene 1 milyon dolar ödül var (2026
itibarıyla diğer altısından sadece Poincaré Konjektürü çözülmüş durumda).
Trilyonlarca sıfır bilgisayarla kontrol edildi ve hepsi
tahmin edilen doğru üzerinde çıktı, ama bu bir "kanıt" değildir, sadece çok
güçlü bir gözlemdir (Temeller bölümündeki "konjektür" kutusunu hatırlayın).
Eğer doğru olduğu kanıtlanırsa, asalların dağılımıyla ilgili onlarca açık
soru bir çırpıda çözülür. Eğer yanlış olduğu gösterilirse
(ki bu da mümkün), sayı teorisinin temelleri yeniden yazılır. Bu, bu
sayfadaki en "canlı" ve heyecan verici sorudur, ve siz de üzerinde
çalışabilirsiniz; matematik tarihinde henüz sadece bir tahmin olmaktan öteye
gitmiyor.
1896
Asal Sayı Teoremi: Gauss'un Sezgisi Kanıtlanıyor
Jacques Hadamard ve Charles-Jean de la Vallée Poussin (birbirlerinden bağımsız)
Riemann'ın açtığı yolu kullanan Hadamard ve de la Vallée Poussin, 1896'da
Gauss'un 1792'deki sezgisini (madde 10) kesin olarak kanıtladı:
\[ \lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln x} = 1 \]
"lim" ve "x→∞" ne anlama gelir?
\(\lim_{x\to\infty}\) ifadesi, "x sonsuza yaklaştıkça (yani x'i istediğiniz
kadar büyük seçtikçe) bu ifade hangi değere yaklaşır?" sorusunun
kısaltmasıdır. Burada x'in "sonsuza ulaştığı" bir an yoktur, x her zaman
sonludur, ama ne kadar büyük olursa olsun, ifadenin değeri 1'e
istediğiniz kadar yakın olur.
Örnek olarak \(\frac{x+1}{x}\) ifadesini düşünün: \(x=10\) için 1,1;
\(x=1000\) için 1,001; \(x=1.000.000\) için 1,000001. x büyüdükçe ifade
1'e gitgide yaklaşıyor; matematikte bunu "\(\lim_{x\to\infty}
\frac{x+1}{x}=1\)" diye yazarız. Yukarıdaki teorem de aynı mantıkla,
\(\pi(x)\) ve \(x/\ln x\) oranının, x büyüdükçe 1'e yaklaştığını söylüyor,
ikisinin her zaman tam olarak eşit olduğunu söylemiyor.
her zaman doğru (asimptotik olarak)
Riemann Hipotezi'ne gerek yok
Bu kanıt, RH'nin doğru olmasına ihtiyaç duymadan elde edildi,
sadece \(\zeta(s)\)'nin \(\text{Re}(s)=1\) doğrusunda hiç sıfırı olmadığını
göstermek yeterliydi (RH bu doğruyu \(\text{Re}(s)=1/2\)'ye taşımayı iddia
ediyor, çok daha güçlü bir iddia). Bu teorem, "ortalamada" asalların ne kadar
sık göründüğünü kesin olarak söyler ama yine tek tek hangi
sayıların asal olduğunu vermez, "yoğunluk" ile "konum" arasındaki farkı
hatırlamakta fayda var.
1876 / 1930
Lucas–Lehmer Testi: Mersenne Avcılığı
Édouard Lucas (1876-78); Derrick H. Lehmer'in iyileştirmesi (1930)
1876'da Lucas, \(2^{127}-1\) (39 basamaklı bir sayı!) sayısının asal olduğunu
elle kanıtladı, bu rekor 75 yıl boyunca kırılamadı. Bunu,
Mersenne sayılarına (madde 3) özel, hızlı bir test kullanarak yaptı.
Test şöyle çalışır: \(s_0=4\) ile başlayan bir dizi tanımlayın, her adımda
\(s_{k+1} = s_k^2 - 2 \pmod{2^p-1}\) hesaplayın. p−1 adım sonra \(s_{p-1}\)
tam olarak 0 ise, \(2^p-1\) asaldır; değilse değildir.
üretmez, test eder
Çok hızlı, ama sadece bir aileye özel
Bu test, genel sayılar için işe yaramaz, sadece \(2^p-1\) biçimindeki
sayılar için geçerlidir. Ama bu biçim için inanılmaz hızlıdır. Bugün
GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) projesi, dünyanın
dört bir yanındaki gönüllü bilgisayarlarda hâlâ Lehmer'in 1930'da bilgisayarla
(o zamanın mekanik hesap makineleriyle!) uyguladığı bu testi kullanıyor. En son
bulunan Mersenne asalı (2024, \(2^{136{.}279{.}841}-1\)) 41 milyon
basamaklı, bu sayı kitap olarak basılsa binlerce sayfa tutar.
1910
Carmichael Sayıları: Fermat Testini Kandıran Sayılar
Robert Carmichael (ilk örnek: 561)
1640'larda Fermat başka bir gözlem yapmıştı (Fermat'nın Küçük Teoremi):
eğer \(n\) asalsa, herhangi bir \(a\) için \(a^{n-1} \equiv 1 \pmod n\) olur.
Bu, hızlı bir asallık testi gibi görünüyordu: \(a^{n-1} \bmod n\)'i hesaplayın,
1 çıkmıyorsa kesin bileşik, 1 çıkıyorsa "muhtemelen asal" deyin.
burada bozulur
561 sayısı, testi kandırıyor
\(561 = 3 \times 11 \times 17\), yani kesinlikle bileşik. Ama
her \(a\) için (561 ile aralarında asal olan), \(a^{560}
\equiv 1 \pmod{561}\) sonucunu verir, yani Fermat testini her zaman "geçer".
Carmichael 1910'da bu tür sayıların sonsuz olduğunu gösterdi.
Bu, "test sonucu olumlu = asaldır" çıkarımının yeterli olmadığını
kanıtladı; testin "gerekli koşul" ile "yeterli koşul"
arasındaki farkı atlaması, sayfa boyunca gördüğümüz o tanıdık tuzağa bir kez
daha düşmesine yol açtı. Bu da modern testlerin (Miller-Rabin, madde 18) neden
daha karmaşık olduğunu açıklıyor.
1947
Mills Sabiti: Matematiksel Bir Paradoks
William H. Mills
1947'de Mills, gerçekten şaşırtıcı bir şey kanıtladı: öyle bir A sayısı
vardır ki, aşağıdaki ifade her n için bir asal sayı
verir:
\[ f(n) = \left\lfloor A^{3^n} \right\rfloor, \qquad A \approx 1{,}30637788\ldots \]
(\(\lfloor x \rfloor\), x'in tam sayı kısmı, yani x'ten büyük olmayan en büyük
tam sayı.) İlk değerler gerçekten asal: \(f(1)=2\), \(f(2)=11\), \(f(3)=1361\).
| n | üs (\(3^n\)) | \(f(n)\) | basamak sayısı |
|---|
| 1 | 3 | 2 | 1 |
| 2 | 9 | 11 | 2 |
| 3 | 27 | 1361 | 4 |
| 4 | 81 | 2.521.008.887 | 10 |
| 5 | 243 | (çok büyük) | 29 |
| 6 | 729 | (çok büyük) | 85 |
"bozulmaz" ama bir tuzağı var
Dairesel mantık: tavuk mu yumurta mı?
Mills'in ispatı, Riemann Hipotezi'ne ihtiyaç duymaz; asal
sayılar arasındaki boşluklarla ilgili, Albert Ingham'ın 1937'de kanıtladığı
koşulsuz bir teoremi kullanır. Yani A'nın var olduğu kesin.
Ama büyük bir sorun var: A sabitinin basamaklarını yeterince hassas
hesaplayabilmek için, formülün üreteceği asalların ne olduğunu
zaten bilmeniz gerekir. Yani bu formül size yeni bir asal
söylemez, bilgisayarın zaten önceden bildiği asalları, A'nın basamaklarına
"şifreleyerek" geri verir. Üstelik \(3^n\) üssü o kadar hızlı büyür ki (n=5
için 29 basamaklı bir asal!), pratik kullanım zaten imkânsızdır. Bu,
"matematiksel olarak var, ama anlamsız" türden zarif bir paradokstur.
1963
Ulam Spirali: Beklenmedik Bir Desen
Stanisław Ulam
1963'te, sıkıcı bir bilimsel sunum sırasında, matematikçi Stanisław Ulam kafasını
oyalamak için sayıları 1'den başlayarak spiral şeklinde bir
kâğıda yazdı ve asal olanları işaretledi. Sayfanın başındaki interaktif görsel
tam olarak bunu gösteriyor.
Beklenen şey: asallar rastgele dağılsın. Bulunan şey:
asalların belirgin köşegen çizgiler boyunca yoğunlaştığı görüldü,
bazı köşegenlerde çok fazla asal var, bazılarında hiç yok.
kısmen açıklanmış, tam çözülmemiş
Bu neden oluyor?
Spiral üzerindeki her köşegen, aslında \(4n^2+bn+c\) biçiminde bir polinoma
karşılık gelir (Euler'in \(n^2-n+41\) polinomuna çok benzer bir aile!). Bazı
\(b,c\) değerleri (özellikle yine "sınıf sayısı" küçük olan sayılarla ilgili
olanlar, madde 7'deki 41 örneğindeki gibi) çok daha fazla asal üretme
eğiliminde. Yani Ulam'ın spirali, Euler'in 1772'deki gözlemiyle aynı
derin matematiğin görsel bir yansıması. Ama "hangi polinomların neden
daha verimli olduğu" sorusunun tam genel teorisi hâlâ aktif bir
araştırma konusu, sayfanın başındaki spirale şimdi bir de bu gözle
bakabilirsiniz.
1976 / 1980
Miller–Rabin Testi: İnternetin Arka Planındaki Algoritma
Gary Miller (1976, deterministik versiyon, kanıtsız bir hipoteze bağlı); Michael Rabin (1980, olasılıksal versiyon)
Carmichael sayılarının (madde 15) gösterdiği zayıflığı gidermek için, Miller ve
Rabin, \(a^{n-1}\equiv1\) kontrolünü tekrar tekrar karekök alarak
parçalara ayıran daha sıkı bir test geliştirdi.
üretmez, test eder (ama çok güvenilir)
"Hemen hemen kesin" yeterli olabilir mi?
Rabin'in olasılıksal versiyonu, bileşik bir sayıyı yanlışlıkla "asal" diye
işaretleme ihtimalini her turda en fazla %25'e indirir. 40 tur
uygularsanız, hata ihtimali \((1/4)^{40}\) gibi olur; bu, evrenin yaşından
daha düşük bir olasılıktır! Bu yüzden pratikte "kesin" kabul edilir. Miller'ın
deterministik versiyonu ise Genişletilmiş Riemann Hipotezi (RH'nin bir
genellemesi) doğruysa tam kesinlik verir, yani burada da RH'ye
(madde 12) bir kez daha rastlıyoruz. Bu algoritma, şu anda telefonunuzdaki
HTTPS bağlantılarının ve bankacılık şifrelemesinin (RSA) her gün
milyarlarca kez çalıştırdığı, en çok kullanılan asallık testidir.
2002
AKS Testi: "PRIMES is in P"
Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena (IIT Kanpur)
2002'ye gelene kadar, hiçbir hipoteze dayanmadan, her zaman
kesin sonuç veren ve "makul" bir sürede çalışan bir asallık testi bilinmiyordu.
Algoritma karmaşıklığı ve "polinom zaman" ne demek?
Bir algoritmanın "ne kadar hızlı" olduğunu ölçmek için, girdinin
basamak sayısı (n) büyüdükçe işlem sayısının nasıl
değiştiğine bakarız.
- Polinom zaman: işlem sayısı \(n^2\), \(n^3\) gibi
n'nin bir kuvveti kadar büyür. n iki katına çıkınca, işlem sayısı sabit
bir katsayıyla artar. Bu, bilgisayar bilimi için "verimli/pratik"
kategorisidir.
- Üstel zaman: işlem sayısı \(2^n\) gibi büyür. n
sadece 1 artınca, işlem sayısı iki katına çıkar.
n=300 gibi küçük bir sayı için bile, evrendeki atom sayısından fazla
işlem gerekebilir.
Wilson Teoremi'nin (madde 6) faktöriyel hesabı, üstel zamandan da
daha hızlı büyür ("faktöriyel zaman"). AKS testinin önemi,
asallık testini kesin olarak polinom zamana indirmesidir,
yani büyük sayılar için de pratikte (teorik olarak) makul kalmasıdır.
üretmez, test eder, ama kusursuz
30 yıllık bir boşluğu kapattı
AKS algoritması, cebirsel kongrüanslar kullanarak hiçbir varsayıma
(RH dahil) ihtiyaç duymadan kesin sonuç veren ve büyüklüğü makul
kalan ilk testtir; "PRIMES is in P" makalesi sayı teorisi tarihinde bir
dönüm noktası sayılır. İlginç bir not: pratikte hâlâ Miller-Rabin (madde 18)
kullanılır çünkü AKS, teorik garantisi daha güçlü olsa da, gerçek dünya
sayıları için daha yavaş çalışır. Yine bu sayfanın temasıyla
karşılaşıyoruz: "matematiksel zarafet" ile "pratik hız" başka şeyler.
2004
Green–Tao Teoremi: Asallar Arasında Sonsuz Desenler
Ben Green ve Terence Tao
Bu teorem, asalların arasında istediğiniz kadar uzun aritmetik
diziler bulunabileceğini kanıtlar: yani \(a, a+d, a+2d, \dots,
a+(k-1)d\)'nin hepsinin asal olduğu diziler, her k için
(k=3, k=100, k=1.000.000, ...) mevcuttur.
var olduğu kanıtlı, ama "nerede" bilinmiyor
Var olduğunu biliyoruz, ama bulamıyoruz
Bu, sayfadaki "varoluş kanıtlandı ama elde edilemiyor" temasının en güncel
örneği. Teorem k=1.000.000 uzunluğunda bir asal aritmetik dizinin
var olduğunu garanti eder, ama bu diziyi oluşturan
sayıların ne kadar büyük olabileceği konusunda hiçbir pratik üst sınır
vermez; muhtemelen evrenin gözlemlenebilir kısmındaki atom sayısından bile
büyük sayılardan oluşurlar. (Bilinen en uzun somut asal aritmetik
dizi, 2026 itibarıyla 27 terim civarındadır.)
2013 ve sonrası
İkiz Asallar: Sınırlı Boşluklar Bulundu
Zhang Yitang (2013), ardından James Maynard, Terence Tao ve Polymath projesi
Antik çağlardan beri sorulan bir soru: "sonsuz sayıda \(p\) ve \(p+2\)
ikiz asal çifti var mıdır?" (3-5, 11-13, 17-19, 29-31 gibi).
Bu, hâlâ çözülmemiş.
Ama 2013'te, o ana kadar akademik camianın dışında çalışan Zhang Yitang,
ardışık asal sayılar arasındaki farkın, sonsuz kez 70 milyondan küçük
olduğunu kanıtladı, yani "sonsuz sayıda asal çifti var ki aralarındaki fark
70 milyonu aşmıyor". Bu, ilk kez asal aralıklarına sonlu bir üst
sınır koyabilmişti.
2'ye ne kadar yaklaşılabilir? Hâlâ açık
70 milyondan 246'ya
Zhang'in çalışması üzerine kısa sürede dünya çapında matematikçiler
(Polymath projesi adıyla bir araya gelen gönüllüler ve James Maynard) bu
sınırı 246'ya kadar düşürdü. Hedef olan 2'ye
(ikiz asal konjektürü) henüz ulaşılamadı, ama 70.000.000'dan 246'ya inmek,
2013-2014 yıllarında sadece birkaç ay içinde gerçekleşti.
Bu, sayı teorisinin hâlâ ne kadar canlı olduğunun en taze
kanıtıdır; 2300 yıl önce Euclid'in başlattığı soru zinciri, geçtiğimiz on
yılda bile büyük ilerlemeler gördü.
Çekirgeler Eğitim