Çekirgeler Eğitim·← BlogSayılar Teorisi · 27 Ocak 2026 · Engin Dikkulak

Özel Sayılar Serisi

Özel Sayılar: Matematiğin Saklı Köşeleri

Bazı sayılar, binlerce yıldır insanların ilgisini çekiyor, sadece sıradan birer sayı olmadıkları için. Bazıları kendi bölenlerinin toplamına eşit, bazıları kendi basamaklarının kuvvetlerinden yeniden doğuyor, bazıları ise bugüne kadar kimsenin tam olarak anlayamadığı bir gizem taşıyor. Bu sayfa, 40 özel sayı ve kavramı, yedi kategori altında (Bölenlerin Sırrı, Basamakların Oyunu, Şekiller ve Diziler, Bir Anekdotun Sayısı, Sabitler ve Büyük Sayılar, Asal Sayılarla Kesişenler, Tarih ve Kavram Sayfaları), tarihçeleri ve interaktif araçlarıyla birlikte ele alıyor.

Önce Temel Kavramlar

Bir sayıyı "özel" yapan ne?

Bu sayfadaki sayıların büyük çoğunluğu, iki basit şeyle ilgili: bir sayının bölenleri (onu tam olarak bölen sayılar) ve bir sayının basamakları (onu yazarken kullandığımız rakamlar). Antik Yunanlılar bölenlerle ilgilendi, modern eğlence matematiği ise basamaklarla. İkisi de aynı soruyu soruyor: "bu sayı, kendi parçalarıyla nasıl bir ilişki içinde?"

Bölenler toplamı, σ(n) nedir?

Bir sayının bölenleri, onu kalansız bölen sayılardır. Örneğin 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. σ(n) (sigma), n'in tüm bölenlerinin toplamını gösterir: σ(12)=1+2+3+4+6+12=28.

Bazen sadece kendisi hariç bölenlerin toplamı kullanılır, buna "uygun bölenler toplamı" denir ve \(s(n)=\sigma(n)-n\) ile gösterilir. 12 için \(s(12)=1+2+3+4+6=16\). Bu sayfadaki mükemmel, eksik, aşkın ve dost sayıların hepsi bu \(s(n)\) fonksiyonuyla tanımlanır.

Yukarıdaki "Sayı Kimlik Kartı" widget'ı, bu sayfada geçen tüm özelliklere göre girdiğiniz sayıyı test ediyor. Aşağıdaki her bölümde, bu özelliklerden birinin tarihini ve matematiğini birlikte keşfedeceğiz.

Kategori 1 · Antik Yunan'dan Bugüne

Bölenlerin Sırrı

İlk özel sayılar, Pisagorcular'ın (MÖ 6. yüzyıl) bir sayıyı kendi bölenleriyle karşılaştırma fikrinden doğdu. Bu basit soru, 2500 yıl sonra hâlâ tam olarak cevaplanmamış bir bilmeceye yol açtı.

MÖ ~300 (Euclid) · 1747 (Euler)

Mükemmel Sayılar (Perfect Numbers)

Pisagorcular'ın gözlemi, Euclid'in formülü, Euler'in tamamlayıcı kanıtı

Bir sayı, kendisi hariç tüm bölenlerinin toplamı kendisine eşitse "mükemmel" sayılır: \(s(n)=n\).

n	uygun bölenler	toplam
6	1, 2, 3	6 ✓
28	1, 2, 4, 7, 14	28 ✓
496	1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248	496 ✓

Pisagorcular için 6 ve 28 sayıları, "tamlık" ve "uyum" sembolleriydi (Aziz Augustinus bile 6'nın mükemmelliğinin Tanrı'nın evreni 6 günde yaratmasıyla ilgili olduğunu yazmıştı). Ama gerçek matematiksel atılım Euclid'in Elementler'inin 9. kitabında geldi:

\[ \text{Eğer } 2^p-1 \text{ asalsa, } \; 2^{p-1}(2^p-1) \text{ mükemmeldir.} \]

Bu, Asal Sayı Avı sayfasındaki Mersenne sayılarıyla (\(2^p-1\)) doğrudan bağlantılı! \(p=2\): \(2^1\times3=6\). \(p=3\): \(2^2\times7=28\). \(p=5\): \(2^4\times31=496\). \(p=7\): \(2^6\times127=8128\).

tam karakterizasyon (çift sayılar için)

Euler, 2000 yıl sonra tersini kanıtladı

Euclid sadece "bu formül mükemmel sayı üretir" demişti. 1747'de (1750'de yayımlandı) Euler, her çift mükemmel sayının tam olarak bu biçimde olmak zorunda olduğunu kanıtladı. Yani çift mükemmel sayılar ile Mersenne asalları arasında bire bir bir ilişki var: biri bulunursa diğeri de bulunur.

hâlâ açık

Hiç tek mükemmel sayı var mı?

2500 yıldır kimse bir tek mükemmel sayı bulamadı; ama yokluğunu da kanıtlayamadı. Bilgisayarlar, \(10^{2000}\)'e kadar hiçbirini bulamadı ve eğer varsa, en az 1500 basamaklı ve en az 10 farklı asal çarpana sahip olması gerektiği gibi çok sıkı koşullar biliniyor, ama "yok" denemiyor. Bu, sayı teorisinin en eski açık sorularından biri.

MÖ ~300

Eksik ve Aşkın Sayılar (Deficient & Abundant)

Euclid'in Elementler'inde geçen tamamlayıcı tanımlar

Mükemmel sayılar bir "bıçak sırtı": çoğu sayı ya bu sınırın altında ya da üstünde kalır.

Eksik (deficient): \(s(n) < n\). Örnek: 8 (bölenler 1,2,4, toplam 7 < 8). Tüm asal sayılar eksiktir (\(s(p)=1\)).
Aşkın (abundant): \(s(n) > n\). En küçüğü 12 (bölenler 1,2,3,4,6, toplam 16 > 12).
Mükemmel: \(s(n)=n\). 6, 28, 496, 8128, ...

Tek tek mi çift mi?

Bilinen tüm aşkın sayıların çoğu çift; ilk tek aşkın sayı 945'tir (bölenler toplamı 975). Bu, sayfanın diğer bölümlerinde de göreceğiniz bir temayı önceden gösteriyor: "ilk örnek küçük ve basit görünür, ama istisnalar genelde daha büyük ve şaşırtıcı sayılarda gizlenir."

~9. yüzyıl (Thabit ibn Qurra) · 1636 (Fermat) · 1866 (Paganini)

Dost Sayılar (Amicable Numbers)

Thabit ibn Qurra'nın formülü, Fermat ve Descartes'ın yeni çiftleri, 16 yaşında bir İtalyan'ın gözden kaçanı bulması

İki sayı, her birinin uygun bölenler toplamı diğerine eşitse "dost" sayılır:

\[ s(a)=b \quad \text{ve} \quad s(b)=a \]

En küçük ve en bilinen çift: 220 ve 284.

n	uygun bölenler	toplam
220	1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110	284
284	1,2,4,71,142	220

Bu çift, Pisagorcular'a kadar uzanan bir efsaneye sahip (220 ve 284'ün "dostluk" ve "sevgi" sembolleri olduğu söylenir). 9. yüzyılda matematikçi Thabit ibn Qurra, yeni dost çiftler üretebilen genel bir formül buldu. Ama ondan sonra 800 yıl boyunca kimse 220/284 dışında bir çift bulamadı.

küçük olan, en zor bulunan oldu

1866: 16 yaşındaki Nicolò Paganini'nin bulduğu "küçük" çift

1636'da Fermat, 17.296 ve 18.416 çiftini buldu; 1638'de Descartes bir başkasını; 1700'lerde Euler tek başına 59 yeni çift buldu, hepsi 220/284'ten çok daha büyük sayılardı. Sonra 1866'da, İtalyan bir lise öğrencisi olan Nicolò Paganini, herkesin gözünden kaçan küçük bir çift buldu: 1184 ve 1210. Yüzyıllarca büyük matematikçilerin atladığı bir şey, küçük bir sayıydı, sadece kimse o aralığı sistematik taramamıştı. Bu, "büyük sorular her zaman büyük sayılarda gizli değildir" dersinin güzel bir örneği.

1918

Sosyal Sayılar (Sociable Numbers)

Paul Poulet, kendi kendini eğitmiş Belçikalı matematikçi

Dost sayıların genellemesi: bir sayıdan başlayıp her adımda \(s(n)\) (uygun bölenler toplamı) hesaplarsanız, bazen birkaç adım sonra başlangıç sayısına geri dönen bir döngü oluşur. Döngü uzunluğu 1 ise mükemmel sayı, 2 ise dost sayı, daha fazlaysa "sosyal sayı" denir.

\[ 12496 \to 14288 \to 15472 \to 14536 \to 14264 \to 12496 \]

Poulet 1918'de bu 5'li döngüyü ve ayrıca 28 sayılık bir döngü (14316'dan başlayan) buldu, bilgisayar öncesi dönemde elle bulunmuş, gerçekten şaşırtıcı sonuçlar.

hâlâ açık

3 elemanlı bir döngü var mı?

1 (mükemmel) ve 2 (dost) elemanlı döngüler binlerce örnekle biliniyor. 5'li, 4'lü ve 28'li döngüler de bulundu. Ama 3 elemanlı bir sosyal sayı zinciri hiç bulunamadı, ve var olamayacağı da kanıtlanamadı. Basit bir soru gibi görünüyor, ama üzerinden 100 yılı geçti.

1970'ler · hâlâ açık

Yarı-Mükemmel ve "Tuhaf" (Weird) Sayılar

Paul Erdős'ün 1971'deki ödüllü sorusu

Bir sayı, uygun bölenlerinin bir alt kümesinin toplamı kendisine eşitse "yarı-mükemmel (semiperfect)"tir. Mükemmel sayılar (tüm bölenler kullanılarak) bunun özel bir hâlidir.

"Tuhaf (weird)" sayı: aşkın olduğu halde hiçbir alt kümesi onu vermeyen sayıdır. En küçüğü 70: bölenleri 1,2,5,7,10,14,35, toplamları 74 (aşkın, 74>70), ama bunlardan hiçbir alt küme toplamı tam 70 vermiyor.

hâlâ açık

Tek bir "tuhaf" sayı var mı?

1971'de Erdős, tek bir tuhaf sayı bulana 10 dolar, hiç olmadığını kanıtlayana 25 dolar teklif etti. Bilinen tüm tuhaf sayılar (sonsuz olduğu kanıtlanmış) çift, ama "tek bir tuhaf sayı yoktur" iddiası da kanıtlanmadı, "tek mükemmel sayı" sorusuyla aynı aileden bir bilmece.

1202 (Fibonacci) · 1948 (isim)

Pratik Sayılar (Practical Numbers)

Fibonacci'nin Mısır kesirleri tablosu, Srinivasan'ın adlandırması

Bir sayı n "pratik"tir, eğer 1'den \(n-1\)'e kadar olan her tam sayı, n'in farklı bölenlerinin bir toplamı olarak yazılabiliyorsa.

12 pratiktir: bölenleri 1,2,3,4,6,12. 5=1+4, 7=1+6, 8=2+6, 9=3+6, 10=4+6, 11=1+4+6, hepsi mümkün. Her 2'nin kuvveti otomatik olarak pratiktir, çünkü ikilik (binary) sayı sistemi tam olarak bu fikre dayanır.

Fibonacci'nin asıl amacı

Fibonacci, 1202'deki Liber Abaci'sinde bu sayıları, kesirleri farklı birim kesirlerin (Mısır kesirleri) toplamı olarak yazmak için kullandı, "özel sayı" olarak adlandırmadan. İsim ancak 1948'de Srinivasan tarafından verildi; tam sınıflandırma (n'in asal çarpanlarına bakarak pratik olup olmadığını anlama) 1954'te Stewart ve Sierpiński tarafından, birbirinden bağımsız olarak tamamlandı.

Kategori 2 · Modern Eğlence Matematiği

Basamakların Oyunu

20. yüzyılda, hesap makineleri ve bilgisayarlar yaygınlaşınca, matematikçiler (ve meraklılar) sayıların basamaklarıyla oynamaya başladı. Bu bölümdeki sayıların çoğu, taban-10 yazımımıza özgü, yani uzaylı bir medeniyet 8 tabanlı sayardı, bu sayılar onlar için "özel" olmayabilirdi.

1980'ler (isim) · 1985 (tam liste kanıtlandı)

Armstrong (Narsisist) Sayılar

Rochester Üniversitesi'nde bir bilgisayar dersinden doğan isim

Bir sayının her basamağını, basamak sayısı kadar üs alıp toplarsanız ve sonuç sayının kendisine eşitse, bu bir "narsisist sayı" (Armstrong sayısı)dır.

\[ 153 = 1^3+5^3+3^3 = 1+125+27 \]

Adın kökeni ilginç: "Armstrong sayısı" terimi, Michael F. Armstrong'un Rochester Üniversitesi'ndeki bir bilgisayar bilimi dersinde öğrencilere verdiği bir alıştırmadan geliyor; matematikteki resmi adı "narsisist sayı" veya "pluperfect digital invariant (PPDI)"dir.

sonlu ve tam olarak biliniyor

Sonsuz değil, tam 88 tane!

1985'te D. Winter, taban 10'da tam olarak 88 narsisist sayı olduğunu kanıtladı (D. Hoey tarafından doğrulandı); en büyüğü 39 basamaklı. Neden sonlu? Çünkü bir \(d\) basamaklı sayının basamaklarının \(d\)'inci kuvvetlerinin toplamı en fazla \(d\times9^d\) olabilir, ama sayının kendisi en az \(10^{d-1}\)'dir. \(d\) yeterince büyüdüğünde (\(d>60\)), \(d\times9^d\), \(10^{d-1}\)'den her zaman küçük kalır, yani 60 basamaktan büyük hiçbir narsisist sayı olamaz. Geri kalanı, bilgisayarla taramaktan ibaret.

Modern eğlence matematiği

Mutlu Sayılar (Happy Numbers)

Basamakların karelerini tekrar tekrar toplamaya dayanan bir oyun

Bir sayının basamaklarının karelerini toplayın. Sonucu alıp tekrar yapın. Eğer sonunda 1'e ulaşırsanız, başlangıç sayısı "mutlu"dur.

\[ 19 \to 1^2+9^2=82 \to 8^2+2^2=68 \to 6^2+8^2=100 \to 1^2+0^2+0^2=1 \]

19 mutlu bir sayı! Ama her sayı bu şekilde 1'e gitmez. "Mutsuz" sayılar, her zaman aynı 8 sayılık döngüye hapsolur:

\[ 4 \to 16 \to 37 \to 58 \to 89 \to 145 \to 42 \to 20 \to 4 \to \cdots \]

Neden sadece iki sonuç var?

Birkaç basamaktan sonra, basamak kareleri toplamı her zaman küçülür (3 basamaklı bir sayı için en fazla \(3\times81=243\) olur), yani sonuç mutlaka küçük bir sayıya düşer. Küçük sayılar arasında bu işlemi uygularsanız, sadece iki olası "çekim alanı" bulursunuz: 1'e giden sayılar (mutlu) ve yukarıdaki 8'li döngüye giren sayılar (mutsuz). Üçüncü bir olasılık yok, bu basit ama zarif bir gözlem.

1949

Kaprekar Sabiti: 6174

D. R. Kaprekar, kendi kendini eğitmiş bir Hindistanlı matematik öğretmeni

Herhangi bir 4 basamaklı, tüm basamakları aynı olmayan bir sayı alın. Basamaklarını büyükten küçüğe ve küçükten büyüğe sıralayıp iki sayı oluşturun, küçüğü büyükten çıkarın. Bu işlemi tekrarlayın.

\[ 3524 \to 5432-2345=3087 \to 8730-0378=8352 \to 8532-2358=6174 \to 7641-1467=6174 \]

Sonunda her zaman, en fazla 7 adımda, 6174'e ulaşırsınız. 6174'e ulaştığınızda, işlem kendi kendine takılıp kalır (6174 bir "sabit nokta"dır). Aynı fikir, 3 basamaklı sayılar için 495'e götürür.

kanıtlanmış (sonlu durum kontrolü)

Bir matematikçinin "amatör" keşfi

Kaprekar, akademik bir kadroya sahip değildi ve çoğu zaman meslektaşları tarafından ciddiye alınmadı, ama bu basit gözlem onun adıyla ölmezleşti. Kanıtı kolaydır: 4 basamaklı, tüm rakamları aynı olmayan sayı sayısı sonludur (9999'dan azdır), bu yüzden her birinin bu işlem altında nereye gittiğini bilgisayarla (ya da sabırla, elle) kontrol etmek yeterlidir, hepsi 6174'e ulaşır.

Süreç bilinen, isim 2002

Palindromlar ve 196 Problemi (Lychrel Sayıları)

Wade Van Landingham'ın "196 Görevi" ve onlarca yıllık bilgisayar hesaplamaları

Bir sayıyı tersiyle toplayın (örnek: 56 → 56+65=121, tek adımda bir palindrom, yani tersinden de aynı okunan bir sayı, elde edersiniz). Çoğu sayı birkaç adımda palindrom olur, 10.000'in altındaki sayıların %80'i 4 adımda, %90'ı 7 adımda palindroma dönüşür.

hâlâ açık

196: 2 milyar adımdan sonra bile palindrom olmadı

196, bu süreçle hiçbir zaman palindroma dönüşmediği düşünülen en küçük sayı, "Lychrel sayısı" (terim 2002'de Wade Van Landingham tarafından, kız arkadaşı Cheryl'in adının bir anagramı olarak türetildi). 1987'de John Walker bir program yazıp 3 yıl çalıştırdı, 2,4 milyon adımda 1 milyon basamaklı bir sayıya ulaştı, hâlâ palindrom değildi. 2015'te 1 milyar adıma, milyarlarca basamağa ulaşıldı, hâlâ palindrom bulunamadı. Ama kanıtlanmış bir şey yok, belki 2 milyar birinci adımda palindrom olacak, kimse bilmiyor. Taban 10'da, hiçbir sayının "kesinlikle Lychrel olduğu" matematiksel olarak kanıtlanmamıştır (bazı diğer tabanlarda kanıtlanabilir örnekler var).

Geleneksel · eğlence matematiği

Otomorfik Sayılar (Automorphic Numbers)

Karenin son basamaklarının kendisiyle aynı olduğu sayılar

Bir sayının karesi, sayının kendisiyle aynı basamaklarla biter.

\[ 25^2=625, \qquad 76^2=5776, \qquad 376^2=141376 \]

Bu sayılar çiftler hâlinde gelir, 5 ve 6 (5²=25, 6²=36), 25 ve 76 (25+76=101), 625 ve 9376 (625+9376=10001), ve her basamak sayısında birbirini "tamamlarlar" (toplamları her zaman \(10^k+1\) biçiminde).

10-adik sayılarla bağlantı

Bu çiftler, ileri sayı teorisindeki "10-adik sayılar" denen bir yapıda, \(x^2=x\) denklemini çözen iki "idempotent" elemana karşılık gelir. Yani otomorfik sayılar, alışılmadık bir sayı sisteminde "0 ve 1 dışında \(x^2=x\) çözümleri" arıyor, lise düzeyinde tam olarak görülmez ama somut örnekleri (25, 76, 625, 9376, ...) eğlenceli bir giriş kapısı.

1994

Vampir Sayılar (Vampire Numbers)

Clifford Pickover'ın sci.math grubunda paylaştığı bir oyun

Çift basamaklı bir sayı, eğer iki "yarı uzunluktaki" çarpanının ("dişler") basamakları, sayının kendi basamaklarının bir permütasyonuysa, bir vampir sayıdır (en az bir diş 0 ile bitmemeli).

\[ 1260 = 21 \times 60, \qquad 1395 = 15 \times 93, \qquad 1435 = 35 \times 41 \]

1260'ın basamakları {1,2,6,0}; 21 ve 60'ın basamakları da {2,1,6,0}, tam bir eşleşme! Pickover bunu 1994'te bir Usenet (sci.math) gönderisinde tanıttı, 1995 tarihli Keys to Infinity kitabında popülerleştirdi.

2009

Münchhausen Sayıları

Daan van Berkel'in adlandırması, "kendi kendini ayaklarından çekme" anekdotuna gönderme

Armstrong sayılarına benzer, ama bu kez her basamak kendi değerine üs olarak yükseltilir (basamak sayısına değil).

\[ 3435 = 3^3+4^4+3^3+5^5 = 27+256+27+3125 \]

Burada bir kural gerekiyor: \(0^0\), normalde matematikte tanımsız veya 1 sayılır, ama bu tanım için \(0^0:=0\) kabul edilir. Bu kuralla, taban 10'da sadece 1 ve 3435 bu özelliği taşır. İsim, Baron Münchhausen'in kendini saçından çekerek bataklıktan çıkardığı efsanevi hikâyesine gönderme, sayı da "kendi kendini" tanımlıyor.

1955 (Kaprekar) · 1980 (Niven adı)

Harshad (Niven) Sayılar

Kaprekar'ın Sanskritçe adlandırması, bir konferans sorusundan doğan "Niven" adı

Bir sayı, basamaklarının toplamına tam bölünüyorsa Harshad (Sanskritçe "sevinç veren") sayısıdır.

\[ 18: \quad 1+8=9, \quad 18 \div 9 = 2 \quad\Rightarrow\quad \text{Harshad} \]

1955'te Kaprekar bu sayılara "Harshad" adını verdi. 1977'de Ivan Niven, bir konferansta "basamak toplamının iki katına eşit bir sayı bulun" sorusunu gündeme getirince, 1980'de Kennedy ve arkadaşları bu sınıfa onun adını da (Niven sayıları) verdi, aynı kavramın iki farklı adı.

En fazla 20 ardışık Harshad sayısı

1994'te Grundman, art arda gelen Harshad sayılarının sayısının 20'yi asla aşamayacağını kanıtladı, ve tam 20 tane ardışık Harshad sayısı içeren en küçük diziyi de buldu (çok büyük basamak sayılarıyla). Bu, basit bir tanımın bile katı bir üst sınıra sahip olabileceğinin güzel bir örneği.

Klasik bir merak konusu

Tekrarlı Birler (Repunit Sayılar)

"R" harfiyle gösterilen, sadece 1'lerden oluşan sayılar

\(R_n\), \(n\) tane 1'den oluşan sayıdır: 1, 11, 111, 1111, ...

\[ R_n=\underbrace{11\ldots1}_{n}=\frac{10^n-1}{9} \]

\(R_n\)'in asal olması inanılmaz nadir: \(R_2=11\) asal, ama \(R_3=111=3\times37\), \(R_5=41\times271\), \(R_{11}\) de bileşik. Bilinen sonraki repunit asalları \(R_{19}\), \(R_{23}\), \(R_{317}\), \(R_{1031}\), ... ve hepsi devasa sayılar.

Asal sayfasıyla bağlantı: taban değiştirin!

Repunit formülü \(\frac{b^n-1}{b-1}\)'in taban-10 (\(b=10\)) hâlidir. Taban-2 (\(b=2\)) hâli ise \(\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1\), tam olarak Asal Sayı Avı sayfasındaki Mersenne sayıları! Yani Mersenne asalları, ikilik sistemde yazılmış "repunit asalları"dır (1111...1 biçiminde, ikilik tabanda). Aynı fikir, farklı bir tabanda devasa bir araştırma alanına dönüşmüş.

1982

Smith Sayıları

Albert Wilansky'nin kayınbiraderinin telefon numarasından doğan bir isim

Bir bileşik sayının basamaklarının toplamı, onu oluşturan asal çarpanların basamaklarının toplamına (her çarpan kaç kere geçiyorsa o kadar sayılarak) eşitse, bu bir Smith sayısıdır.

\[ 4937775 = 3\times5\times5\times65837 \]

Soldaki sayının basamak toplamı \(4+9+3+7+7+7+5=42\). Çarpanların basamak toplamları: \(3+5+5+(6+5+8+3+7)=3+5+5+29=42\). Eşit! 1982'de matematikçi Albert Wilansky, kayınbiraderi Harold Smith'in telefon numarasının (493-7775) tam olarak bu özelliği taşıdığını fark etti ve sayı sınıfına onun adını verdi.

Kategori 3 · Geometriden Sayıya

Şekiller ve Diziler

Bazı sayılar, geometrik şekillerden doğar: noktaları üçgen, kare veya beşgen biçiminde dizdiğinizde ortaya çıkan sayılar gibi. Bazıları ise bir diziden doğar, her terim öncekilerden üretilir.

MÖ ~500 (Pisagorcular) · 1796 (Gauss) · 1813 (Cauchy)

Çokgensel (Figürel) Sayılar

Pisagorcular'ın "sayıları noktalarla çizme" geleneği

Pisagorcular sayıları nokta dizilimleriyle temsil ederlerdi: üçgensel sayılar (1, 3, 6, 10, 15, ...), kare sayılar (1, 4, 9, 16, ...), beşgen sayılar (1, 5, 12, 22, ...).

\[ T_n=\frac{n(n+1)}{2}, \quad S_n=n^2, \quad P_n=\frac{n(3n-1)}{2} \]

Gauss'un okul sırasındaki "kısayolu"

Genç Gauss'a öğretmeni 1'den 100'e kadar tüm sayıları toplamasını söylediğinde, Gauss saniyeler içinde \(5050\) cevabını verdi. Yaptığı şey tam olarak \(T_{100}\)'ü hesaplamaktı: 1 ile 100'ü, 2 ile 99'u, ... eşleyip her çiftin 101'e eşit olduğunu, ve 50 çift olduğunu fark etti: \(50\times101=5050\). Bu, \(T_n=\frac{n(n+1)}{2}\) formülünün görsel bir ispatıdır.

Fermat'nın iddiası → 73 yılda kanıtlandı

Her sayı, çokgensel sayıların toplamı mı?

Fermat 1638'de iddia etti: her sayı en fazla 3 üçgensel, 4 kare, 5 beşgen, ... \(k\) tane \(k\)-gensel sayının toplamıdır. Kare durumu için (Lagrange'ın Dört Kare Teoremi) 1770'te Lagrange kanıtladı. Üçgensel durumu için Gauss 1796'da kanıtladı ve günlüğüne sadece "EUREKA! num = Δ+Δ+Δ" yazdı. Genel durum, Cauchy tarafından 1813'te kanıtlandı, Fermat'nın iddiasından 175 yıl sonra.

~MÖ 200 (Hindistan) · 1202 (Fibonacci, Avrupa'ya tanıtım)

Fibonacci Sayıları ve Altın Oran

Pingala'nın Sanskrit hece kalıpları, Fibonacci'nin tavşan problemi

Her terim, önceki ikisinin toplamı:

\[ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, \quad 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots \]

1202'de Fibonacci, Liber Abaci kitabında bu diziyi bir "tavşan çiftleşme problemi" ile Avrupa'ya tanıttı. Ama dizi, ondan 1400 yıl önce, Hint dilbilimci Pingala'nın Sanskrit şiir kalıplarını sayarken kullandığı sayılarda zaten vardı, matematik tarihinin "aynı fikrin iki kez, farklı amaçlarla keşfedilmesi" örneklerinden biri.

Doğada gerçekten her yerde mi?

Ayçiçeği tohum dizilimleri ve bazı kozalakların spiral sayıları genellikle Fibonacci sayılarına (veya ona çok yakın sayılara) denk gelir, bunun büyüme açısıyla (altın açı, ≈137,5°) ilgili gerçek bir matematiksel nedeni var. Ama "her şey Fibonacci" iddiası popüler kültürde abartılır; çoğu biyolojik yapı bu örüntüyü takip etmez. İyi bir araştırma alışkanlığı: "doğada Fibonacci" iddialarını gördüğünüzde, gerçek ölçüm verisi var mı diye sorgulayın.

Zeckendorf Teoremi (1972): her sayının "Fibonacci ikili sistemi"

Her pozitif tam sayı, ardışık olmayan Fibonacci sayılarının toplamı olarak tek bir şekilde yazılabilir. Örneğin 100 = 89+8+3 (89=F11, 8=F6, 3=F4, hiçbiri ardışık değil). Bu, normal ikili sayı sisteminin (2'nin kuvvetleri) şaşırtıcı bir "akrabasıdır".

1751 (Euler) · 1758 (Segner) · 1838 (Catalan)

Catalan Sayıları

Euler'in Goldbach'a yazdığı bir mektup, Ming Antu'nun Çin'deki bağımsız keşfi

Bir dışbükey çokgeni, kenarları kesişmeyen köşegenlerle üçgenlere bölmenin kaç farklı yolu var? \(n+2\) kenarlı bir çokgen için cevap, n. Catalan sayısı \(C_n\)'dir:

\[ C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}, \qquad 1,1,2,5,14,42,132,429,\ldots \]

1751'de Euler bu soruyu Goldbach'a yazdığı bir mektupta ortaya attı ve ilk sekiz değeri elle hesapladı. 1758'de Segner, bugün kullandığımız özyineleme formülünü kanıtladı. Ama ilginç bir not: 1730'larda Moğol bilgin Ming Antu, Çin'de bambaşka bir bağlamda (sinüs serileri) aynı sayı dizisini bağımsız olarak tablolamıştı, kombinatorik anlamından habersiz. Sayılar, 1838'de Eugène Catalan'ın parantezleme problemleriyle ilgili çalışmasından sonra onun adıyla anılmaya başladı.

Aynı sayı, bambaşka kılıklarda

Catalan sayıları matematikte "her yerde" karşınıza çıkar: \(n+1\) çarpanın parantezlenme sayısı, \(n\) iç düğümlü ikili ağaçların sayısı, \(2n\) uzunluğundaki dengeli parantez dizilerinin sayısı, hepsi aynı \(C_n\) formülünü verir. \(C_2=2\): "(ab)c" ve "a(bc)", iki parantezleme; aynı zamanda "(())" ve "()()" , 2 dengeli parantez dizisi.

~MÖ 400 (Hindistan/Yunanistan) · 12. yy (Bhāskara II) · 18. yy (yanlış isim)

Pell Sayıları

İsmi "yanlış" verilmiş, ama tarihi √2 kadar eski bir dizi

Fibonacci'ye benzer bir özyineleme, ama farklı katsayılarla:

\[ P_n=2P_{n-1}+P_{n-2}, \qquad 0,1,2,5,12,29,70,169,408,\ldots \]

Bu sayılar, \(\sqrt{2}\)'ye kesirlerle yaklaşmanın bir yolu: ardışık Pell sayılarının oranı \(P_{n+1}/P_n\), "gümüş oran" \(1+\sqrt{2}\approx2{,}4142\)'ye yaklaşır.

bir isimlendirme talihsizliği

John Pell'in bu sayılarla pek ilgisi yok!

Bu dizinin arkasındaki denklem (\(x^2-2y^2=\pm1\)), Pisagor döneminden (MÖ ~400) hem Yunanistan'da hem Hindistan'da biliniyordu, "kenar ve köşegen sayıları" olarak. Brahmagupta 628'de genel bir denklem ailesini inceledi, Bhāskara II ise 12. yüzyılda ünlü "chakravala" yöntemini geliştirdi. 18. yüzyılda Euler, William Brouncker'ın bir çözümünü yanlışlıkla John Pell'e atfetti, isim ise düzeltilmeden kaldı. Matematik tarihinde, bir ismin "yapışıp kalması" için doğru olması gerekmiyor!

Pell denklemiyle bağlantılı

Hem Üçgensel Hem Kare Olan Sayılar

İki ailenin (madde 3.1 ve madde 3.4) kesişimi

0 ve 1 dışında, bir sayının aynı zamanda hem üçgensel (\(T_k=k(k+1)/2\)) hem de tam kare (\(m^2\)) olması çok nadirdir:

\[ 0,\; 1,\; 36,\; 1225,\; 41616,\; 1413721,\ldots \]

36 = T_8 = 6², 1225 = T_49 = 35². Bu sayıları bulmak, \(8x^2+1=y^2\) biçimindeki bir Pell denklemine denk gelir, yani tam olarak yukarıdaki Pell sayıları ailesiyle aynı matematiksel zeminde duruyorlar. Art arda gelen üçgensel-kare sayılar arasındaki oran, yaklaşık 34 katına çıkıyor, kendi başına şaşırtıcı bir büyüme hızı.

~1587 (Harriot) · 1875 (Lucas) · 1918 (Watson)

Piramit Sayılar ve "Topçu Problemi"

Walter Raleigh'in gemi yolculuğunda Thomas Harriot'a sorduğu pratik bir soru

Topları üst üste kare piramit şeklinde istiflerseniz, toplam top sayısı kareler toplamıdır:

\[ SP_n=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

1500'lerin sonunda, kâşif Walter Raleigh, gemisindeki matematikçi Thomas Harriot'a topları hızlıca saymanın bir yolunu sordu, Harriot bu formülü türetti. Sorunun asıl eğlenceli kısmı 300 yıl sonra geldi.

70'in bir başka görünüşü!

Topçu Problemi: piramidi kareye dönüştürmek

1875'te Édouard Lucas sordu: bir kare piramit istifi, aynı zamanda düz bir kare (\(m\times m\)) olarak da dizilebilir mi? Yani \(SP_n=m^2\) olan \(n,m\) var mı (1 dışında)? Lucas, tek çözümün \(n=24\) olduğunu tahmin etti: \(SP_{24}=4900=70^2\). Bu, 43 yıl kanıtlanamadı, 1918'de G. N. Watson, eliptik fonksiyonlar kullanarak ispatladı. Dikkat ederseniz, 70 burada üçüncü kez karşımıza çıkıyor: Özel Sayılar serisinin 1. bölümünde en küçük "tuhaf (weird)" sayı olarak, bu bölümde Pell dizisinin 6. terimi (\(P_6=70\)) olarak, ve şimdi de 4900'ün karekökü olarak. Sayılar dünyası, göründüğünden daha bağlantılı.

1899 (Perrin) · 1982 (sözde-asal)

Perrin Sayıları

Plastik sayının (madde 5.3) bir başka "akrabası", ve bir asallık testi denemesi

Padovan dizisiyle aynı özyinelemeyi kullanır, ama farklı başlangıç değerleriyle:

\[ P_0=3,\;P_1=0,\;P_2=2, \qquad P_n=P_{n-2}+P_{n-3} \]

Bu da 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,... gibi büyür ve oranı, madde 5.3'teki aynı plastik sayı \(\rho\)'ya yaklaşır, Fibonacci/altın oran ve Pell/gümüş oran ailelerine üçüncü bir "akraba" daha.

asallık testinde bir tuzak

"p asalsa, p, P(p)'yi böler", ama tersi her zaman doğru değil

1899'da Perrin, eğer \(p\) asalsa \(p\mid P_p\) olduğunu fark etti ve bunu bir asallık testi olarak önerdi: "\(n\mid P_n\) ise \(n\) asaldır." Çok uzun süre hiç istisna bulunamadı. Ama 1982'de Adams ve Shanks, bu kuralı sağlayan ilk bileşik sayıyı buldu: 271441 (\(=521^2\)), bir "Perrin sözde-asalı (pseudoprime)". Yani test, asallıkla ilgili çoğu durumda doğru sonuç verir, ama kesin değildir, tıpkı madde 6.1'deki Carmichael sayılarının Fermat testini kandırması gibi.

Kategori 4 · Matematik Tarihi Hikayeleri

Bir Anekdotun Sayısı

Bazı sayılar, bir formülden değil, bir anlıktan ünlü olur.

1919 (anekdot) · 1957 (Ta(3) bulundu)

Taksicab Sayıları ve 1729

G. H. Hardy ile Srinivasa Ramanujan arasındaki hastane ziyareti

1919'da, hasta yatağındaki Ramanujan'ı ziyaret eden Hardy, bindiği taksinin plaka numarasının 1729 olduğunu, "sıkıcı bir sayı" olduğunu ve kötü bir alamet olmasından korktuğunu söyler. Ramanujan hemen cevap verir: "Hayır Hardy, çok ilginç bir sayı! İki küpün toplamı olarak iki farklı şekilde yazılabilen en küçük sayı."

\[ 1729 = 1^3+12^3 = 9^3+10^3 \]

Bu olay, Ramanujan'ın sayılarla olan eşsiz, sezgisel ilişkisinin en bilinen örneği oldu ve 1729 bugün "Hardy-Ramanujan sayısı" olarak da anılıyor. Genelleme, "Ta(n)" ile gösterilir: \(Ta(2)=1729\) (iki şekilde), \(Ta(3)= 87.539.319\) (üç şekilde, 1957'de John Leech tarafından bulundu).

"Her doğal sayı biraz ilginçtir" şakası

Bu hikâye, matematikçiler arasında bir şakaya da ilham verdi: "ilginç olmayan en küçük sayı" diye bir şey bulmaya çalışırsanız, o sayı "ilginç olmayan en küçük sayı olma" özelliğiyle otomatik olarak ilginç hale gelir, bu yüzden hiçbir sayı gerçekten "sıkıcı" olamaz, tam da Ramanujan'ın o anki tepkisi gibi.

Kategori 5 · Sonsuza Yaklaşmanın Yolları

Sabitler ve Büyük Sayılar

Bu bölümde iki uç var: bir yanda ondalık açılımı sonsuza kadar süren ve hiç tekrarlamayan sabitler (π, e), diğer yanda yazmaya kâğıdın yetmeyeceği kadar devasa tam sayılar.

MÖ ~1650 (Mısır) · MÖ ~250 (Arşimet) · bugün

π'nin Tarihi

4000 yıllık bir yaklaşım yarışı

Mısır'daki Rhind Papirüsü (MÖ ~1650) π'yi 256/81≈3,16 olarak yaklaşıklar. Arşimet (MÖ ~250), bir çemberin içine ve dışına 96 kenarlı düzgün çokgenler çizerek π'yi sıkıştırdı:

\[ \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} \]

5. yüzyılda Çinli matematikçi Zu Chongzhi, 355/113 yaklaşımıyla 7 ondalık basamağa kadar doğru bir değer buldu, bu kayıt 900 yıl kırılamadı. 14. yüzyılda Hindistan'da Madhava, 17. yüzyılda Avrupa'da Leibniz tarafından yeniden bulunan bir seri keşfetti:

\[ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots \]

hâlâ açık

π "normal" bir sayı mı?

π'nin irrasyonel (Lambert, 1761) ve aşkın (Lindemann, 1882) olduğu kanıtlandı. Ama π'nin "normal" olup olmadığı, yani her basamak dizisinin (0-9, 00-99, ...) uzun vadede eşit sıklıkta görünüp görünmediği, bilgisayarla trilyonlarca basamağa kadar test edilmiş ve hep "evet" çıkmış, ama kanıtlanmamış.

1683 (Bernoulli) · 1731/1748 (Euler)

e Sayısı ve Euler'in Kimliği

Bileşik faizden doğan bir sayı, ve "en güzel denklem"

1683'te Jacob Bernoulli, sürekli bileşik faiz sorusunu inceliyordu: bir birim parayı yıllık %100 faizle, ama faizi sonsuz kez bölerek işletirseniz ne olur?

\[ e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828\ldots \]

Euler, 1731'de Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sayıyı "e" harfiyle gösterdi (kendi adının ilk harfi olduğu için değil, sadece "a" zaten kullanılıyordu denir) ve 1748'deki Introductio kitabıyla popülerleştirdi.

5 sabit, 3 işlem, 1 satır

\[ e^{i\pi}+1=0 \]

Euler'in Kimliği, matematiğin beş temel sabitini (0, 1, \(e\), \(i\), \(\pi\)) ve üç temel işlemi (toplama, çarpma, üs alma) tek bir denklemde birleştirir. Fizikçi Richard Feynman buna "matematiğin en olağanüstü formülü" demiştir.

1924 (Cordonnier) · 1928 (van der Laan)

Plastik Sayı

Altın oranın az tanınan "kardeşi", bir mimar-keşiş tarafından adlandırıldı

Altın oran \(\varphi\), \(x^2=x+1\)'in kökü; gümüş oran (Pell sayılarının oranı) \(x^2=2x+1\)'in kökü. Plastik sayı \(\rho\) ise üçüncü derece bir denklemin kökü:

\[ \rho^3=\rho+1, \qquad \rho\approx1{,}32472 \]

1924'te, henüz 17 yaşındaki Fransız mühendis Gérard Cordonnier bu sayıyı "radyan sayı" adıyla inceledi. 1928'de, mimarlık eğitimini bırakıp Benedikten rahibi olan Hollandalı Dom Hans van der Laan, bu sayıya bağımsız olarak ulaştı ve mimari oranlarını tamamen buna dayandırdı, "plastik sayı" adını da o verdi.

Fibonacci'nin üç katlı versiyonu

Fibonacci her terimi öncekinin iki tanesinin toplamı yapar (\(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)). Padovan dizisi ise üç terimi geriye gider: \(P_n=P_{n-2}+P_{n-3}\), 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,... Ardışık terimlerin oranı, \(\rho\)'ya yaklaşır, tıpkı Fibonacci oranlarının \(\varphi\)'ye, Pell oranlarının gümüş orana yaklaşması gibi.

1933

Champernowne Sabiti

21 yaşındaki bir lisans öğrencisinin kanıtladığı ilk "normal" sayı

Tüm pozitif tam sayıları sırayla yan yana yazıp ondalık noktadan sonra koyun:

\[ C_{10}=0{,}1\,2\,3\,4\,5\,6\,7\,8\,9\,10\,11\,12\,13\,14\,15\ldots \]

1933'te, henüz lisans öğrencisi olan David G. Champernowne, bu sayının taban 10'da normal olduğunu kanıtladı: yani her basamak (ve her basamak dizisi) uzun vadede eşit sıklıkta görünür. Bu, "normal olduğu kanıtlanmış" ilk somut sayıydı, π ve e için bu hâlâ açık (madde 5.1)! 1937'de Mahler, bu sayının aynı zamanda aşkın olduğunu da kanıtladı.

1920 (Googol) · 1971 (Graham Sayısı)

Googol, Googolplex ve Graham Sayısı

9 yaşında bir çocuğun bulduğu isim, ve yazılamayacak kadar büyük bir kanıt sınırı

1920'de matematikçi Edward Kasner, 9 yaşındaki yeğeni Milton Sirotta'ya "1'in ardından 100 sıfır" gelen sayıya bir ad bulmasını sordu. Çocuk "googol" dedi, isim kaldı (ve sonradan bir şirket adına ilham verdi, "Google" yazımı kasıtlı bir yazım hatasıdır). Googolplex ise \(10^{\text{googol}}\).

Sayı	Yaklaşık değer
Gözlemlenebilir evrendeki atom sayısı	~10⁸⁰
Googol	10¹⁰⁰
Googolplex	10^(10¹⁰⁰)

Graham Sayısı: googolplex bile yanında "küçük" kalır

1971'de Ronald Graham, Ramsey teorisindeki bir problem için bir üst sınır kanıtladı, bu sınır Graham Sayısı olarak biliniyor. O kadar büyük ki, normal üs alma yetersiz kalır; Donald Knuth'un "yukarı ok" gösterimi gibi özel notasyonlar gerekir. Hatta Graham Sayısının kaç basamaklı olduğunu yazmak için bile, alışılmadık gösterimler gerekiyor, evrendeki tüm atomları mürekkep yapsanız bile basamaklarını yazamazsınız. (İlginç not: gerçek problemin cevabının muhtemelen çok daha küçük olduğu düşünülüyor, Graham Sayısı sadece "kanıtlanabilen" bir üst sınır.)

2010

τ (Tau) ve π Tartışması

Michael Hartl'ın "Tau Manifestosu", ve her 28 Haziran'da kutlanan bir "Tau Günü"

π, bir çemberin çapına göre tanımlanır (\(\pi=\)çevre/çap). Ama matematikte formüllerin büyük çoğunluğu yarıçapı kullanır, ve bu yüzden sürekli \(2\pi\) görürsünüz: çevre \(=2\pi r\), tam açı \(=2\pi\) radyan.

\[ \tau=2\pi\approx6{,}28318\ldots \]

2010'da Michael Hartl, "Tau Manifestosu" adlı bir yazıyla, çevre = \(\tau r\), tam açı = \(\tau\) radyan gibi formüllerin kavramsal olarak daha "doğal" olacağını savundu. Bu fikir, matematikçiler arasında ciddi bir değişiklik önerisinden çok, eğlenceli bir tartışma olarak kaldı, ama her 28 Haziran'da (6/28, \(\tau\approx6{,}28\)) bazı matematik toplulukları "Tau Günü" kutluyor (14 Mart, π Günü'nün "kardeşi" gibi).

Bu sayfanın küçük bir özeti gibi

τ vs π tartışması, ciddi bir matematiksel sonuç değil, ama bu sayfadaki birçok sayı gibi "neden bu gösterimi/tanımı seçtik?" sorusunun, matematiğin kendisinden çok insan tercihleri ve tarihiyle ilgili olduğunu güzelce gösteriyor, tıpkı Pell sayılarının yanlış adlandırılması (madde 3.4) veya "Harshad" ile "Niven" adlarının (madde 2.8) aynı kavrama verilmiş iki ayrı isim olması gibi.

Kategori 6 · Asal Sayı Avı'na Köprüler

Asal Sayılarla Kesişenler

Bu üç sayı ailesi, "Asal Sayı Avı" sayfasındaki temaları, dost sayılarla (madde 1.3) ve Ulam spiraliyle yeni yönlerden birleştiriyor.

Antik çağ (ikiz asallar) · 1800'ler başı (Sophie Germain)

İkiz Asallar ve Sophie Germain Asalları

Erkek takma adıyla Gauss ve Lagrange'a mektup yazan bir matematikçi

İkiz asallar: arasında sadece 2 olan asal çiftleri, (3,5), (5,7), (11,13), (17,19)... İkiz Asal Konjektürü (sonsuz çift var mıdır?) hâlâ açık, ama Asal Sayı Avı sayfasında anlattığımız 2014 sonrası "sınırlı boşluklar" çalışmaları (Zhang, Maynard) bu soruya en yakın olduğumuz nokta.

Sophie Germain asalları: \(p\) asalsa ve \(2p+1\) de asalsa, \(p\) bir Sophie Germain asalıdır (3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, ...).

"M. LeBlanc" imzalı mektuplar

Sophie Germain (1776-1831), kadınların üniversiteye kabul edilmediği bir dönemde, erkek adıyla ("M. LeBlanc") Gauss ve Lagrange'a matematik mektupları yazdı. Bu özel asal sınıfını, Fermat'nın Son Teoremi'nin belirli üsler için bir kısmını kanıtlamakta kullandı (Wiles'ın 1994'teki genel kanıtından 180 yıl önce, kısmi ama gerçek bir ilerleme).

2012

Belphegor'un Asalı

Clifford Pickover'ın "şeytani" bir palindromik asal bulması

\[ 1\underbrace{0\ldots0}_{13}\,666\,\underbrace{0\ldots0}_{13}1 = 10^{30}+666\times10^{13}+1 \]

Bu 31 basamaklı sayı, asal ve palindrom (madde 2.4), ve ortasında "Şeytanın sayısı" 666'yı barındırıyor, her tarafında tam 13 sıfır var. 2012'de Clifford Pickover bu sayıyı keşfedip Belphegor (Hristiyan demonolojisinde "icat şeytanı" olarak bilinen yedi cehennem prensinden biri) adını verdi.

Pickover'ın üçlemesi

Bu sayfada üçüncü kez aynı isimle karşılaşıyoruz: Vampir Sayılar (madde 2.6) ve Belphegor'un Asalı, ikisi de Clifford Pickover'ın "eğlenceli sayı teorisi" mirasından. Pickover'ın katkısı, kesinlikle ciddi bir teorem değil, ama matematiği "merak edilebilir" kılan bu tür buluşların eğitimde küçümsenmeyecek bir yeri var.

1950'ler

Ulam'ın "Şanslı" Sayıları

Aynı Stanisław Ulam, sarmalından farklı bir keşif

Asal Sayı Avı sayfasındaki sarmalı hatırlayın, aynı Ulam, 1950'lerde Verna Gardiner ile birlikte MANIAC bilgisayarında tamamen farklı bir "kalbur (sieve)" denedi:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... ile başlayın.
Her 2. sayıyı eleyin (çift sayılar gider): 1,3,5,7,9,11,...
Kalan listede 2. sayı 3'tür, şimdi her 3. sayıyı eleyin: 1,3,7,9,13,15,19,...
Kalan listede 3. sayı 7'dir, şimdi her 7. sayıyı eleyin, ve böyle devam edin.

Kalan sayılar "şanslı sayılar"dır: 1,3,7,9,13,15,21,25,31,33,37,43,49,...

hâlâ açık

Asallarla "tesadüfi" benzerlikler

Şanslı sayılar, asallarla istatistiksel olarak çok benzer davranır: yoğunlukları benzer şekilde azalır, "ikiz şanslı sayılar" ve hatta bir "Goldbach benzeri" konjektür (her çift sayı iki şanslı sayının toplamı mıdır?) bile var, hâlâ açık. Bu benzerlik kanıtlanmadı; belki de herhangi bir "kalburlama" süreci, asalsızlıkla ilgisi olmasa bile benzer istatistiksel desenler üretiyor, bu felsefi olarak da ilginç bir soru.

1899 (Korselt) · 1910 (Carmichael) · 1994 (sonsuzluk kanıtı) · 2022

Carmichael Sayıları

Asal sayı "taklitçileri", ve 17 yaşında bir Amerikalının çözdüğü konjektür

Fermat'nın Küçük Teoremi'ne göre, \(p\) asalsa, \(p\) ile aralarında asal her \(a\) için \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\). Bu, bir sayının asal olup olmadığını hızlıca test etmek için kullanılabilir, ama bir tuzak var.

\[ 561=3\times11\times17 \]

561 bileşik, ama kendisiyle aralı asal her \(a\) için \(a^{560}\equiv1\pmod{561}\), yani Fermat testini "kandırıyor". 1899'da Korselt bu tür sayıları karakterize etti (kare çarpansız olmalı, ve her asal çarpanı \(p\) için \((p-1)\mid(n-1)\)), 1910'da Robert Carmichael ilk örneği yayımladı (Çek matematikçi Šimerka 1885'te bağımsız olarak ilk 7 örneği bulmuştu, ama o dönem fark edilmedi).

1994: sonsuz sayıda var; 2022: bir lise öğrencisi bir adım daha attı

1994'te Alford, Granville ve Pomerance, sonsuz sayıda Carmichael sayısı olduğunu kanıtladı. 2022'de, henüz 17 yaşındaki Daniel Larsen, Carmichael sayılarının aralıklarıyla ilgili uzun süredir çözülememiş bir konjektürü kanıtlayarak matematik camiasını şaşırttı, bu sayfadaki "amatör/genç keşifler" temasının (Paganini madde 1.3, Champernowne madde 5.4) güncel bir örneği.

Kategori 7 · Sayıların Kendisi Bir Buluş

Tarih ve Kavram Sayfaları

Bu son bölümde, tek bir sayıdan değil, sayı sistemlerinin ve kavramlarının nasıl ortaya çıktığından bahsediyoruz, bazıları o kadar temel ki, varlığını sorgulamak bile cesaret gerektirmiş.

MÖ ~300 (Babil) · 628 (Brahmagupta) · 17. yy (Avrupa)

Sıfırın ve Negatif Sayıların Tarihi

Bir "yer tutucu"dan gerçek bir sayıya, ve "saçma" sayılardan cebire

Babil'de (MÖ ~300) sıfır, sadece bir yer tutucu sembolüydü (304 ile 34'ü ayırt etmek için), kendi başına bir "sayı" değildi. Maya medeniyeti de bağımsız olarak benzer bir yer tutucu geliştirdi. Asıl kırılma noktası, 628'de Hindistan'da Brahmagupta'nın sıfırı aritmetik işlemlere tabi bir sayı olarak tanımlaması ve kurallarını yazmasıydı (örn. bir sayı eksi kendisi sıfırdır).

Negatif sayılar neden "saçma" sayıldı?

Çin'de (MÖ ~2. yüzyıl, Jiuzhang Suanshu) kırmızı/siyah çubuklarla negatif sayılar gösteriliyordu; Hindistan'da Brahmagupta bunları "borç" olarak yorumladı. Ama Avrupa'da, 17-18. yüzyıla kadar birçok matematikçi negatif sayıları reddetti veya "yanlış kökler" olarak gördü (Descartes dahil). "Negatif bir şeyin karekökü" (\(\sqrt{-1}\)) sorusu, karmaşık sayıların da benzer bir dirençle karşılaşmasına yol açtı.

MÖ ~5. yüzyıl

İrrasyonel Sayıların Keşfi: √2 ve Pisagor Krizi

Hippasus of Metapontum'a atfedilen bir kanıt, ve onunla ilgili karanlık bir efsane

Pisagorcular, evrendeki her şeyin tam sayıların oranı olduğuna inanıyordu, bu felsefi bir inançtı, sadece matematiksel değil. Ama bir birim kare çizip köşegenini ölçtüğünüzde, o köşegenin uzunluğu \(\sqrt2\)'dir, ve \(\sqrt2\) hiçbir kesir olarak yazılamaz.

İspatı görün: √2 neden kesir olamaz?

\(\sqrt2=a/b\) olduğunu, \(a/b\)'nin sadeleştirilmiş (en sade) hali olduğunu varsayalım. O zaman \(2b^2=a^2\), yani \(a^2\) çifttir, dolayısıyla \(a\) da çifttir, \(a=2k\) diyelim. Yerine koyarsak \(2b^2=4k^2\), yani \(b^2=2k^2\), aynı mantıkla \(b\) de çift olmalı. Ama \(a\) ve \(b\)'nin ikisi de çift olması, "sadeleştirilmiş" varsayımıyla çelişir. Çelişki, demek ki \(\sqrt2\) bir kesir olamaz.

Bir efsane: Hippasus'un sonu

Söylenceye göre, bu kanıtı keşfeden (veya açıklayan) Hippasus, Pisagorcu dünya görüşünü tehdit ettiği için denizde boğulmuştur. Bu hikâyenin tarihsel doğruluğu tartışmalıdır (kaynaklar çok sonradan yazılmıştır), ama "matematiksel bir gerçeğin felsefi/dini bir inançla çarpışması" teması, bilim tarihinde sık tekrarlanan bir motif.

Euclid'in algoritması · 16-18. yüzyıl sistematikleşme

Sürekli Kesirler

Euclid'in böl-ve-kalanı bul algoritmasının "sonsuza" uzatılması

Her sayı, iç içe geçmiş kesirler olarak yazılabilir:

\[ x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}} \]

Rasyonel sayılar için bu açılım sonludur (Euclid'in algoritmasıyla aynı adımlar). İrrasyonel sayılar için sonsuza gider, ve bazı sayılar için bu açılım inanılmaz derecede düzenlidir:

\[ \sqrt2=[1;2,2,2,2,\ldots], \qquad \varphi=[1;1,1,1,1,\ldots] \]

"En irrasyonel" sayı

Altın oranın sürekli kesri sadece 1'lerden oluşur, bu onu rasyonel sayılarla en zor yaklaşılan sayı yapar (yakınsamaları en yavaş). Bu yüzden bazı doğa olayları (örneğin yaprak dizilimi açıları), "rastgele" bir açıdan ziyade tam olarak altın açıyı (≈137,5°) tercih eder, böylece hiçbir yaprak sırası bir öncekinin tam üstüne denk gelmez. 16-18. yüzyılda Bombelli, Cataldi ve Euler bu yöntemi sistemleştirdi; Lagrange ise bunu Pell denklemini (madde 3.4) çözmek için kullandı.

1881 (Newcomb) · 1938 (Benford)

Benford Yasası

Aşınmış logaritma tablolarından adli muhasebeye

1881'de gökbilimci Simon Newcomb, logaritma tablolarının ilk sayfalarının (1 ile başlayan sayılar) son sayfalardan çok daha yıpranmış olduğunu fark etti. 1938'de fizikçi Frank Benford, 20.000'den fazla veri noktasıyla aynı deseni yeniden buldu ve popülerleştirdi:

\[ P(d)=\log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right), \quad d=1,\ldots,9 \]

Yani gerçek dünya verilerinde (nüfuslar, faturalar, fizik sabitleri), baştaki rakam 1 yaklaşık %30, baştaki rakam 9 ise sadece %4,6 olasılıkla görünür, eşit dağılımda her biri %11,1 olurdu.

Mahkemede kullanılan bir matematik teoremi

Benford Yasası, sahte finansal kayıtları tespit etmek için kullanılıyor: insanlar sayı "icat ettiklerinde" genelde baştaki rakamları eşit dağıtırlar, gerçek veriler ise Benford dağılımını takip eder. ABD'de en az bir dolandırıcılık davasında, mahkemeye sunulan belgelerin Benford Yasası'na uymaması, sahteciliğin kanıtlarından biri olarak kabul edilmiştir.

MÖ ~2000 (Babil, taban-60) · 1703 (Leibniz, ikilik)

Sayı Tabanları

Saatinizde hâlâ yaşayan 4000 yıllık bir taban

Babilliler taban-60 (altmışlık) kullandı, bu yüzden bir saatte 60 dakika, bir dakikada 60 saniye, bir çemberde 360 (6×60) derece var, 4000 yıl sonra bile! Maya medeniyeti taban-20 (yirmilik) kullandı (10 parmak + 10 ayak parmağı teorisiyle ilişkilendirilir).

Taban-2 (ikilik) sistemi, 1703'te Leibniz tarafından Avrupa'da resmi olarak tanımlandı (Leibniz, bunun Çin'deki I Ching diyagramlarıyla bir bağlantısı olduğunu bile düşünmüştü), ama gerçek önemini 20. yüzyılda bilgisayarların elektronik anahtarlarıyla (açık/kapalı = 1/0) mükemmel uyumuyla kazandı.

1844 / 1851

Liouville Sayısı

Joseph Liouville'in "kanıtlanmış aşkın" ilk sayısı

Bir sayının aşkın (transcendental) olduğunu, yani hiçbir tam sayı katsayılı polinomun kökü olmadığını kanıtlamak çok zordur (π için 1882'ye kadar, madde 5.1'deki Lindemann kanıtına kadar beklendi). Ama 1844'te Liouville, özel olarak inşa edilmiş bir sayı için bunu kanıtladı:

\[ L=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{k!}}=0{,}110001000000000000000001000\ldots \]

Ondalık açılımda, sadece \(k!\)'inci basamaklarda 1, diğerlerinde 0 var (basamak 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...). Liouville, bu sayının rasyonel sayılarla aşırı iyi yaklaşılabildiğini gösterdi, bu da onun cebirsel (polinom kökü) olamayacağını kanıtlamak için yeterliydi.

Sürekli kesirlerle bağlantı (madde 7.3)

Madde 7.3'te altın oranın "en irrasyonel" sayı olduğunu, çünkü rasyonellerle en kötü yaklaşıldığını söylemiştik. Liouville sayısı tam tersi bir uçtaki örnek: rasyonellerle akıl almaz derecede iyi yaklaşılabilir (her \(k!\) basamağında, kesirler "şans eseri değil, inşa nedeniyle" inanılmaz yakın çıkar). Bu iki uç, irrasyonel sayıların ne kadar çeşitli "kişiliklere" sahip olabileceğini gösteriyor.

Bu Sayfada

40 Özel Sayı: Tam İçindekiler

"Özel Sayılar" sayfası, tarihten günümüze 40 sayı ve kavramı, yedi kategori altında, her biri kendi tarihçesi, ispatı ve interaktif aracıyla ele alan tamamlanmış bir derleme. Aşağıdaki içindekiler, sayfanın genel haritası niteliğinde.

Bölenlerin Sırrı

Mükemmel, eksik, aşkın sayılar
Dost sayılar
Sosyal sayılar
Yarı-mükemmel ve "tuhaf" (weird) sayılar
Pratik sayılar

Basamakların Oyunu

Armstrong, mutlu, Kaprekar, Lychrel sayıları
Otomorfik sayılar
Vampir sayılar
Münchhausen sayıları
Harshad (Niven) sayıları
Repunit sayılar
Smith sayıları

Şekiller ve Diziler

Çokgensel sayılar, Fibonacci
Catalan sayıları
Pell sayıları
Hem üçgensel hem kare olan sayılar
Piramit sayılar ve Topçu Problemi
Perrin sayıları

Bir Anekdotun Sayısı

Taksicab Sayıları ve 1729

Sabitler ve Büyük Sayılar

π'nin tarihi
e sayısı ve Euler'in kimliği
Plastik sayı
Champernowne sabiti
Googol, Googolplex ve Graham Sayısı
τ (Tau) ve π tartışması

Asal Sayılarla Kesişenler

İkiz ve Sophie Germain asalları
Belphegor'un asalı
Ulam'ın "şanslı" sayıları
Carmichael sayıları

Tarih ve Kavram Sayfaları

Sıfırın ve negatif sayıların tarihi
İrrasyonel sayıların keşfi (√2)
Sürekli kesirler
Benford Yasası
Sayı tabanları
Liouville sayısı

Sayfa boyunca tekrar eden bazı isimler ve sayılar (Pickover'ın vampir, Münchhausen ve Belphegor buluşları; 70'in üç farklı görünüşü; Ulam'ın sarmalı ve "şanslı sayılar" kalburu; Pell-Plastik-Perrin-Fibonacci ailesi) kasıtlı olarak bırakıldı, bu sayfayı tek bir oturuşta değil, parça parça okuyanlar için küçük "a-ha" anları olsun diye.

"Asal Sayı Avı" sayfasıyla birlikte, bu ikisi Çekirgeler Eğitim'in matematik blogundaki temel referans sayfalarını oluşturuyor; ileride eklenecek yeni sayfalardan buraya, ve buradan oraya köprüler verilebilir.

Kaynakça

Daha fazla okumak isteyenler için

MÖ ~1650Rhind Papirüsü, π için erken bir Mısır yaklaşımı.
MÖ ~400Pisagor dönemi Yunan ve Hint matematikçilerinin √2 için "kenar ve köşegen sayıları" (Pell sayılarının erken hâli); Hippasus of Metapontum'a atfedilen √2'nin irrasyonelliği kanıtı.
MÖ ~250Arşimet, 96 kenarlı çokgenlerle π için 223/71 < π < 22/7 sınırları.
628Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, Pell denklemi ailesi üzerine erken çalışma.
1202Fibonacci, Liber Abaci, Mısır kesirleri tablosunda pratik sayıların ilk örtük kullanımı.
1844 / 1851Joseph Liouville, ilk kanıtlanmış aşkın sayının inşası.
MÖ ~300Euclid, Elementler, Kitap IX, Önerme 36, mükemmel sayılar formülü.
~9. yüzyılThabit ibn Qurra'nın dost sayı üretme formülü üzerine çalışması.
12. yüzyılBhāskara II, Pell denklemi için "chakravala" çözüm yöntemi.
~1587Thomas Harriot, Walter Raleigh'in sorusu üzerine kare piramidal sayı formülünün türetilmesi.
1683Jacob Bernoulli, sürekli bileşik faiz problemiyle e sayısının ortaya çıkışı.
1731 / 1748Leonhard Euler, "e" gösteriminin ilk kullanımı ve Introductio in analysin infinitorum.
1747/1750Leonhard Euler, çift mükemmel sayıların Euclid formülüyle tam karakterizasyonu.
1751 / 1758L. Euler (Goldbach'a mektup) ve J. A. von Segner, Catalan sayılarının ilk formülü ve özyinelemesi.
1730'larMing Antu (Minggatu), Catalan sayılarının Çin'de bağımsız ve erken tablolanması.
1761 / 1882J. H. Lambert (π'nin irrasyonelliği) ve F. Lindemann (π'nin aşkınlığı) kanıtları.
1770Joseph-Louis Lagrange, Dört Kare Teoremi ve sürekli kesirlerle Pell denklemi çözümleri.
1796 / 1813C. F. Gauss (üçgensel sayılar) ve A.-L. Cauchy (genel çokgensel sayılar teoremi), Fermat'nın 1638 iddiasının kanıtı.
1800'ler başıSophie Germain'in (M. LeBlanc takma adıyla) Fermat'nın Son Teoremi'nin özel durumları üzerine çalışması.
1838Eugène Catalan, parantezleme problemleri üzerine çalışması (sayılara adının verilmesine yol açtı).
1866Nicolò Paganini, 1184-1210 dost sayı çiftinin keşfi.
1875 / 1918Édouard Lucas'ın "Topçu Problemi" konjektürü ve G. N. Watson'ın eliptik fonksiyonlarla kanıtı.
1885 / 1899 / 1910V. Šimerka, A. Korselt ve R. D. Carmichael, Carmichael sayılarının erken keşifleri ve karakterizasyonu.
1899R. Perrin, Perrin dizisinin ve bir asallık testi önerisinin tanımı.
1881 / 1938Simon Newcomb ve Frank Benford, baştaki rakam dağılımı (Benford Yasası).
1918Paul Poulet, sosyal sayıların (5'li ve 28'li döngülerin) keşfi.
1919G. H. Hardy ve S. Ramanujan, 1729 anekdotu (Hardy'nin Ramanujan adlı eserinde anlatılır).
1920Edward Kasner ve Milton Sirotta, "googol" adının ortaya çıkışı.
1924 / 1928Gérard Cordonnier ve Hans van der Laan, plastik sayının keşfi ve adlandırılması.
1933 / 1937D. G. Champernowne (normallik) ve K. Mahler (aşkınlık), Champernowne sabiti.
1948A. K. Srinivasan, "pratik sayı" adlandırması; tam sınıflandırma B. M. Stewart (1954) ve W. Sierpiński (1954) tarafından.
1949D. R. Kaprekar, 6174 sabitinin ve Kaprekar rutininin tanımı.
1950'lerS. Ulam ve V. Gardiner, "şanslı sayılar" kalburu (MANIAC bilgisayarı).
1955 / 1980D. R. Kaprekar ("Harshad" adı) ve R. E. Kennedy ve ark. ("Niven" adı, Ivan Niven'in 1977 konferans sorusuna atfen).
1957John Leech, Ta(3)=87.539.319'un bulunuşu.
1964John Riordan'ın çalışmalarıyla "Catalan sayıları" adının matematik literatüründe yaygınlaşması.
1971Paul Erdős'ün "tuhaf (weird)" sayılar üzerine ödüllü açık soru duyurusu; S. Benkowski ve P. Erdős'ün sonsuzluk kanıtı. Aynı yıl, Ronald Graham'ın Graham Sayısı'nı içeren makalesi.
1972Édouard Zeckendorf, Fibonacci sayılarıyla benzersiz gösterim teoremi.
1985D. Winter (D. Hoey doğrulaması), taban-10 narsisist sayıların tam listesi (88 sayı).
1987-2015John Walker, Jason Doucette, Wade Van Landingham ve diğerleri, 196 Lychrel problemi üzerine hesaplama çalışmaları.
1994 / 1995Clifford A. Pickover, vampir sayıların tanımı (sci.math gönderisi ve Keys to Infinity).
1982W. Adams ve D. Shanks, ilk Perrin sözde-asalının (271441) bulunuşu; A. Wilansky, "Smith sayısı" adlandırması.
1994H. G. Grundman, ardışık Harshad sayılarının en fazla 20 olabileceğinin kanıtı.
1994W. R. Alford, A. Granville ve C. Pomerance, sonsuz sayıda Carmichael sayısı olduğunun kanıtı.
2009Daan van Berkel, "Münchhausen sayısı" adlandırması ve 3435'in karakterizasyonu.
2010Michael Hartl, "Tau Manifestosu".
2012Clifford A. Pickover, "Belphegor'un Asalı" adlandırması.
2022Daniel Larsen, Carmichael sayılarının aralıkları üzerine bir konjektürün kanıtı.
Güncel verilerThe On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, oeis.org (A000396 mükemmel sayılar, A005188 narsisist sayılar, A007770 mutlu sayılar, A023108 Lychrel adayları, A000045 Fibonacci, A003416 sosyal sayılar, A006037 tuhaf sayılar, A005153 pratik sayılar, A005349 Harshad sayılar, A014575 vampir sayılar, A002275 repunitler, A000108 Catalan sayıları, A000129 Pell sayıları, A001110 üçgensel-kare sayılar, A000292 tetrahedral, A000330 kare piramidal, A000931 Padovan, A005384 Sophie Germain asalları, A000959 şanslı sayılar, A033307 Champernowne sabiti, A002997 Carmichael sayıları, A006753 Smith sayıları, A001608 Perrin sayıları, A012245 Liouville sabiti).