Sayı Teorisi · 3800 Yıllık Bir Yolculuk
\(3^2+4^2=5^2\). Bu eşitliği herkes biliyor. Peki bu çözümü üreten bir formül var mı, kaç tane çözüm var ve hepsi bulunabilir mi? Ve \(3\) yerine \(3.\) kuvvet alınırsa ne olur? Bu iki soru, Babil'den 1995'teki bir İngiliz matematikçiye uzanan, matematik tarihinin en dramatik yolculuklarından birine kapı açıyor.
Tanım ve İlk Sorular
\(a, b, c\) pozitif tam sayı ve \(a^2+b^2=c^2\) ise, \((a,b,c)\) ikilisine Pisagor üçlüsü denir. En tanınmış örnek \((3,4,5)\)'tir, ama sonsuz tane var.
\((a,b,c)\) üçlüsünde \(\gcd(a,b,c)=1\) ise (üç sayı birlikte aralarında asal ise), buna ilkel üçlü denir. \((6,8,10)\) bir Pisagor üçlüsüdür, ama ilkel değildir: her terimi 2'ye bölünce \((3,4,5)\) elde edilir. Tüm Pisagor üçlüleri, bir ilkel üçlünün tam sayı katıdır. Dolayısıyla ilkel üçlüleri anlarsak, geri kalanı \((a,b,c)\to(ka,kb,kc)\) ile ücretsiz gelir.
İlkel bir üçlüde en fazla bir terim çift olabilir (ikisi çift olsaydı, 2 ortak bölen olurdu, ilkellik bozulurdu). Ayrıca \(a\) ve \(b\)'nin birlikte çift olamayacağı gösterilebilir, bu yüzden ilkel bir üçlüde kesinlikle tam olarak bir bacak çifttir.
Columbia Üniversitesi'nde saklanan bu Babil kil tableti, günümüzde hâlâ tartışılıyor. Tablette sistematik biçimde büyük Pisagor üçlüleri listeleniyor: örneğin \((12709, 13500, 18541)\). Bu üçlünün "kazara" bulunması son derece güç, sistematik bir üretim yöntemi olduğuna işaret ediyor. Tableti 1940'larda inceleyen Neugebauer ve Sachs, Babillilerin muhtemelen Öklid'inkine yakın bir formül kullandığını öne sürdü. Tablette kaç sütun olduğu ve hangi amaçla yapıldığı (astronomi? eğitim?) hâlâ tartışma konusu.
MÖ ~300'de Öklid, ilkel Pisagor üçlülerini tam olarak üreten bir formül verdi. \(m>n>0\), \(\gcd(m,n)=1\) ve \(m,n\) farklı pariteye sahip (biri çift diğeri tek) olmak üzere:
Bu formülün Pisagor üçlüsü verdiğini görmek kolay: \((m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 = (m^2+n^2)^2\). Daha derini: her ilkel Pisagor üçlüsü, tam olarak bir \((m,n)\) çiftine karşılık gelir. Yani bu formül bir üretici değil, tam bir karakterizasyon.
Pisagor üçlülerini anlamanın zarif bir yolu: \(a^2+b^2=c^2\) denklemini \(c^2\)'ye bölerseniz, \((a/c)^2+(b/c)^2=1\) elde edilir. Yani her Pisagor üçlüsü, birim çemberdeki bir rasyonel noktaya karşılık gelir. Öklid formülü ise, geometrik olarak, \((-1,0)\) noktasından birim çembere çizilen bir doğrunun rasyonel eğimine (\(t=n/m\)) karşılık gelen kesim noktasını verir.
Hipotenüsü (c değeri) \(N\)'den küçük olan ilkel Pisagor üçlülerin sayısı, \(N\to\infty\) iken, yaklaşık olarak \(\dfrac{N}{2\pi}\) kadardır. Yani sonsuz tane var, ama "seyrekleşerek": büyük \(N\) için oranları \(\sim 1/(2\pi)\). Bu formül, asal sayı teoremi (çarşı analoğu) ve Gauss'un iki kareye yazılabilirlik teoremiyle ilişkili.
Her ilkel Pisagor üçlüsünden, üç doğrusal dönüşümden biri uygulanarak tam olarak üç yeni ilkel üçlü elde edilebilir. Bu, \((3,4,5)\)'den başlayan, tüm ilkel üçlüleri tam olarak bir kez içeren sonsuz bir üçlü ağacı oluşturur.
Bir Kenar Notundan Kanıta
Pisagor denklemi \(a^2+b^2=c^2\)'nin sonsuz çözümü var. Üs 2'yi 3, 4, 5, ... yaparsanız ne olur? Bu soru, "hiçbir zaman" cevabıyla karşılaşıyor, ama bunu kanıtlamak 358 yıl sürdü.
Diophantus'un Arithmetica'sı, tam sayı ve rasyonel sayı çözümleri arayan denklemleri (bugün "Diophantine denklemler" deniyor) inceleyen, antik dünyanın en etkili cebir kitabıdır. Kitabın II. bölümünde, \(x^2+y^2=z^2\) için rasyonel çözümler ele alınıyor, bu da Pisagor üçlülerini tam sayı katlarına bağlar. Fermat, Diophantus'un bu kitabının 1621'deki Latince çevirisinin kenarına notlar düştü.
Hukuk adamı ve amatör matematikçi Fermat, Diophantus'un Arithmetica'sının kenarına Latince şunu yazdı:
"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."
"Bir küpü iki küpe, ya da bir dördüncü kuvveti iki dördüncü kuvvete, ve genel olarak ikinin üzerindeki hiçbir kuvveti, aynı kuvvetten iki sayının toplamına bölmek imkânsızdır. Bunun için harika bir kanıt buldum. Ama bu kenar boşluğu onu sığdırmaya yetmiyor."
Fermat 1665'te öldü, bu iddiayı hiç yayımlamadı, hiç kanıtını göstermedi. Oğlu Samuel, 1670'te babasının notlarını Arithmetica ile birlikte yayımladı, ve 358 yıllık bir süreci başlattı.
Fermat'nın bıraktığı tek gerçek kanıt, \(n=4\) özel durumu içindi: \(a^4+b^4=c^4\)'ün pozitif tam sayı çözümü yoktur. Kullandığı yöntem "sonsuz iniş" (infinite descent): "eğer bir çözüm varsa, ondan daha küçük bir çözüm türetilebilir" argümanı, ama bu süreç sonsuza kadar süremez, dolayısıyla çözüm yoktur.
\(n=4\) kanıtlanınca, \(a^{4k}+b^{4k}=c^{4k}\) de imkânsız olur (çünkü \(a^{4k}=(a^k)^4\)). Genel teoremi kanıtlamak için yalnızca tek asal üsler için kanıt yeterli: eğer \(p\) tek asal ise ve \(a^p+b^p=c^p\) çözümsüzse, \(n=p\) veya \(n=4p\) çarpanı olan her \(n\) için de çözüm yok. Dolayısıyla sıra, \(n=3, 5, 7, 11, ...\) tek asallarına geçiyor.
Euler, \(a^3+b^4=c^3\) denkleminin çözümsüzlüğünü kanıtladı, Fermat'nın \(n=4\) kanıtından tam 100 yıl sonra. Euler'in kanıtında küçük bir boşluk bulundu, daha sonra Gauss tarafından tamamlandı.
\(n=5\) için Dirichlet ve Legendre, birbirinden bağımsız olarak 1825'te kanıt verdiler. \(n=7\) için Lamé 1839'da kanıt yayımladı, bu aşama en zor özel durum kanıtlarından biriydi. Bu dönemde her yeni \(n\) için ayrı, giderek daha uzun kanıtlar gerekiyordu, sona yaklaşıldığının işareti değil.
Germain, bir defada sonsuz çok \(n\) için kısmi bir sonuç kanıtladı: eğer \(p\) asal ve \(2p+1\) de asalsa (bugün "Sophie Germain asalı" denilen sayılar, bkz. Özel Sayılar sayfası), o zaman \(a^p+b^p=c^p\)'nin herhangi bir çözümünde \(p\), \(a\), \(b\), veya \(c\)'den birini bölmek zorundadır. Bu, özel sınıflar için çözüm arama uzayını büyük ölçüde daraltıyordu. Germain bu sonucu, erkek takma adı "M. LeBlanc" imzasıyla Gauss'a gönderdi.
1847'de Fransız Bilimler Akademisi'nde, Lamé ve Cauchy neredeyse aynı anda "genel kanıtı buldum" iddiasıyla sunum yaptı. İkisi de yanılıyordu: her ikisinin de kanıtı, tam sayıların bazı cebirsel uzantılarında "benzersiz çarpanlara ayrılma" varsayımına dayanıyordu, ama bu her cebirsel sayı alanında doğru değil.
Bu hatayı fark eden Kummer, çözüm olarak "ideal sayılar" teorisini geliştirdi (bugün "ideal"ler, soyut cebrin temel kavramlarından biri). Kummer, "düzenli (regular) asal" adını verdiği bir sınıf için \(n=p\) kanıtladı, ama bu sınıfın dışındaki asal sayılar belirsiz kaldı.
Alman iş insanı Paul Wolfskehl, Fermat'nın Son Teoremi'ni (tam olarak) kanıtlayana verilmek üzere 100.000 Mark bıraktı. Bu, döneme göre devasa bir meblağdı ve "matematiğin en büyük ödülü" olarak anıldı. Ödül 1997'de, enflasyon nedeniyle değerinin büyük bölümünü yitirmiş halde, Andrew Wiles'e verildi.
Frey, olağanüstü bir gözlem yaptı: eğer \(a^p+b^p=c^p\)'nin bir çözümü \((a_0, b_0, c_0)\) varsa, şu eliptik eğrinin var olması gerekir:
Frey, bu eğrinin modüler olamayacağını öne sürdü (tam kanıtlamadan). Modülerlik, eliptik eğrilerin modüler formlar adı verilen derin bir analitik nesneyle ilişkilendirilebilir olması demektir. Eğer böyle "garip" bir eğri mümkün değilse, o zaman Fermat'ın denklemi de çözümsüzdür.
Ribet, Frey'in sezgisini kesin bir teoreme dönüştürdü ("epsilon konjektürü" / Ribet teoremi): eğer Taniyama-Shimura konjektürü doğruysa (tüm rasyonel eliptik eğriler modülerdir), o zaman Frey'in eğrisi olamaz, dolayısıyla Fermat denklemi çözümsüzdür.
Artık şu denklik kurulmuştu: Taniyama-Shimura konjektürünü kanıtla → Fermat'ın Son Teoremi kanıtlanmış olur. Taniyama-Shimura, o dönemde "belki bir nesil sonra" kanıtlanabilecek kadar zor görünüyordu. Ama Ribet'in haberini alan bir Prinsteon profesörü, o güne kadar hiç yapmadığı bir şeye karar verdi: tamamen gizli, yalnız çalışmak.
Wiles, 10 yaşında Cambridge'de bir kitaplıkta Fermat'nın Son Teoremi'ni okumuş ve "büyüdüğümde bunu kanıtlayacağım" demişti. Ribet'in sonucunu duyunca, araştırma konusunu gizlice değiştirdi, dikkat dağıtmak için eski projelerini küçük parçalar halinde yayımladı ve sadece eşine ne üzerinde çalıştığını anlattı.
7 yıl boyunca çatı katındaki çalışma odasında, eliptik eğri teorisi, Iwasawa teorisi, Galois temsilleri ve modüler formlar arasında daha önce kurulmamış köprüler inşa etti.
Wiles, Cambridge'deki Isaac Newton Matematiksel Bilimler Enstitüsü'nde üç gün boyunca verdiği konferanslarda, "yarı-kararlı eliptik eğrilerin modülerliğini" kanıtladığını duyurdu. Son cümle: "Ve bu, Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlar." Seyirciler alkışa boğdu. Haber dünya basınına yayıldı.
Wiles'ın 200 sayfalık makalesi, hakem sürecinde Nick Katz tarafından incelenirken kritik bir boşluk bulundu: Euler sistemlerinin belirli bir grup üzerindeki sınırına dair bir argüman yanlıştı. Wiles, bunu başta düzeltmeye çalıştı, kamuoyuna açıklamak istemedi. Aylarca süren yalnız bir çabanın ardından, bir çıkmaza girdiğini itiraf etmek zorunda kaldı.
Wiles, eski öğrencisi Richard Taylor ile birlikte çalışarak bir çıkış yolu aradı. Eylül 1994'te, o zamana kadar denediği yaklaşımın neden çalışmadığını anlamaya çalışırken, ani bir sezgiyle iki farklı tekniği (Iwasawa teorisi ve Euler sistemleri) birleştirmenin neden işe yarayacağını gördü. Sonradan şöyle anlattı:
"Müthiş, inanılmaz güzellikte, o kadar basit ve zarif bir şeydi ki. Çalışma masama yirmi dakika bakakaldım. Sonra aşağı gittim ve saatlerce dolaştım. Aynı gün üniversiteye döndüm ve yeniden baktım; hâlâ oradaydı."
Wiles'ın 108 sayfalık makalesi ve Taylor-Wiles'ın 20 sayfalık ek makalesi, Annals of Mathematics'te yayımlandı. Tanıma gelince: 1998'de "özel katkı" için IMO altın madalyasına eş bir ödül, 2016'da Abel Ödülü, 2016'da Wiles için Kraliyet Derneği'nin Copley Madalyası, ve 1997'de Wolfskehl Ödülü.
Araştırmacının Pusulası
"Eliptik eğri" adı kafa karıştırıcıdır: elips değildir! Şu formun denklemleriyle verilen eğrilerdir (Weierstrass formu):
Bu eğrilerin rasyonel noktaları (hem \(x\) hem \(y\) rasyonel olan noktalar), üzerinde bir grup yapısı taşır: herhangi iki rasyonel noktayı, geometrik bir kural izleyerek (doğru çiz, kesim noktasını al, x eksenine yansıt) "toplayabilirsiniz" ve sonuç yine rasyonel bir noktadır. Bu grup yapısı, Wiles'ın kanıtının merkezindedir.
Aslında Pisagor üçlüleri de eliptik eğrilerin özel bir hali üzerinde çalışır. Birim çemberdeki rasyonel noktalar (\(x^2+y^2=1\)) bir grup oluşturur ve bu grubun yapısı, Öklid formülündeki \((m,n)\) çiftleriyle doğrudan ilişkilidir. Frey'in fikri, "Fermat çözümü" varsayımından daha karmaşık bir eliptik eğri inşa etmek ve bu eğrinin imkânsız özellikler taşıması gerektiğini göstermekti.
Modüler formlar, karmaşık üst yarı-düzlemde \(\left(\text{Im}(z)>0\right)\) tanımlı, belirli simetri dönüşümleri altında değişmeyen analitik fonksiyonlardır:
Bunlar, ilk bakışta eliptik eğrilerle hiçbir ilgisi olmayan tamamen farklı bir matematik dünyasına aittir. Taniyama-Shimura konjektürü (bugün "modülerlik teoremi" olarak da bilinir), bu iki dünya arasında şaşırtıcı ve derin bir köprü olduğunu söyler.
Japon matematikçiler Yutaka Taniyama ve Goro Shimura (André Weil de katkı sundu), şu çarpıcı iddiayı ortaya attı: rasyonel katsayılı her eliptik eğri, bir modüler formla "ilişkilidir" (teknik olarak: eğrinin L-fonksiyonu, bir modüler formun L-fonksiyonuna eşittir). Bu iddia, 1950'lerde neredeyse "hayal gibi" görünüyordu. Taniyama 1958'de genç yaşta hayatına son verdi, Shimura uzun yıllar tek başına bu yönde çalıştı. Wiles, bu konjektürün "yarı-kararlı" eğriler için özel durumunu kanıtladı; tam konjektür 2001'de Breuil, Conrad, Diamond ve Taylor tarafından tamamlandı.
Kanıtın mantık zinciri şöyle özetlenebilir:
Fermat'nın Son Teoremi, sonunda saf sayı teorisiyle değil, eliptik eğriler (cebirsel geometri), modüler formlar (karmaşık analiz) ve Galois temsilleri (soyut cebir) gibi bambaşka matematik alanlarının birleştirilmesiyle kanıtlandı. "Kenar boşluğuna sığmayan" kanıtın gerçekten var olmadığı düşünülüyor, Fermat muhtemelen \(n=4\) için kullandığı iniş yönteminin genel durumda işe yarayacağını yanılarak varsaymıştı. Ama bu yanılgı, matematiği 358 yıl boyunca ilerletmek için bir motor işlevi gördü.
Bir eliptik eğri \(E\)'nin, asal \(\ell\) için "mod \(\ell\) Galois temsili" \(\bar\rho_{E,\ell}\), eğrinin \(\ell\)-bölme noktalarının (yani \(P: \ell P = \mathcal{O}\) noktalarının) cebirsel yapısını kodlar. Wiles'ın stratejisinin özü:
Kummer'in 1847'deki hatası ve bunu düzeltmek için geliştirdiği "ideal sayılar" teorisi, bugün tüm modern cebirsel sayı teorisinin ve dolayısıyla Wiles'ın kanıtının temelini oluşturuyor. Bu paradoks, matematik tarihinde sık görülen bir örüntü: yanlış bir "kanıt", doğru bir teoriyi doğuruyor.
Fermat'nın Son Teoremi çevresinde geliştirilen araçlar arasında: cebirsel sayı alanları (Dedekind halkalarına giden yol), ideal teorisi (Kummer → Dedekind → modern ring teorisi), L-fonksiyonları (Dirichlet → Riemann → modern Langlands programı), ve eliptik eğri kriptografisi (bugün internet güvenliğinin temeli, TLS protokolü). "Kenar boşluğuna sığmayan" o not, matematiği birkaç kuşak boyunca ilerletmek için benzersiz bir yakıt oldu.
Öklid formülü, her \((m,n)\) çifti için (\(m>n\), aynı parite değil, \(\gcd(m,n)=1\)) farklı bir ilkel üçlü verir. Uygun \((m,n)\) çiftleri sonsuz olduğu için, ilkel Pisagor üçlüleri de sonsuzdur. Daha derini: birim çemberdeki rasyonel noktaların sayısı sonsuz olduğunu doğrudan görmek mümkün, çünkü her rasyonel eğim \(t\), farklı bir rasyonel nokta verir.
Bu Sayfada
\(a^2+b^2=c^2\)'nin sonsuz çözümü var. \(a^3+b^3=c^3\)'ün hiç. Bu bir üslük fark, matematik tarihinin en uzun serüvenini yarattı: Plimpton 322'den Fermat'nın kenar notuna, Kummer'in ideal teorisinden Frey'in eliptik eğrisine, ve Wiles'ın atık odasındaki 7 yıllık çalışmaya. Bu sayfadaki birçok karakter başka sayfalarda da karşımıza çıktı: Sophie Germain (Özel Sayılar sayfası, ikiz asallar), Gauss (sayı teorisinin her köşesinde), ve "yanlış kanıt → doğru teori" örüntüsü (Kollatz'ın Conway'i hatırlatan karar verilemezlik sezgisi gibi).
\(a^n+b^n=c^n\)'nin \(n\geq3\) için pozitif tam sayı çözümü yoktur (Wiles 1995). Tüm rasyonel semistable eliptik eğriler modülerdir. Tüm ilkel Pisagor üçlüleri, Öklid formülüyle tam olarak karakterize edilir.
Langlands programı (Taniyama-Shimura'nın çok daha geniş genellemesi) hâlâ büyük ölçüde açık. ABC konjektürü (2012'de Mochizuki'nin tartışmalı "kanıtı" matematikçiler arasında hâlâ kabul görmedi). Beal konjektürü (\(a^x+b^y=c^z\), \(x,y,z>2\) için \(a,b,c\) ortak asal çarpan içerir mi?).
Kaynakça
Çekirgeler Eğitim