Kriptografi · MÖ 50'den Bugüne
Julius Caesar mektuplarındaki her harfi alfabede üç adım kaydırırdı. Bugün telefonunuz, bankanıza bağlanırken yüzlerce basamaklı sayılarla aynı işi yapıyor: bir mesajı yalnızca doğru kişinin okuyabileceği hâle getirmek. Bu iki uç arasında 2000 yıl, İstanbul'daki bir kütüphanede yeniden bulunan bir el yazması, iki dünya savaşı ve yıllarca gizli tutulmuş bir keşif var. Aşağıdaki çarkla başlayın: kaydırma miktarını değiştirin, kendi mesajınızı şifreleyin.
Engin Dikkulak
Çekirgeler Eğitim ve Sigma Olympics Kurucu Ortağı
Önce Temel Kavramlar
Her şifreleme hikâyesinde üç rol vardır. Mesajı gönderen (kriptografi kitaplarında geleneksel adıyla Alice), alan (Bob) ve aradaki konuşmayı dinleyen biri (Eve, İngilizce "eavesdropper", yani kulak misafiri kelimesinden). Alice'in okunabilir mesajına düz metin (plaintext), dönüştürülmüş hâline şifreli metin (ciphertext), dönüşümün nasıl yapılacağını belirleyen gizli bilgiye de anahtar (key) denir.
Sezar şifresinde anahtar tek bir sayıdır: \(k\). Harfleri 0'dan 28'e kadar numaralandırırsak (A=0, B=1, C=2, Ç=3, …, Z=28), şifreleme ve çözme şu iki kuraldan ibarettir:
Örneğin \(k=3\) ile "ÇEKİRGELER" kelimesi "FĞNLTIĞOĞT" olur. Ç'nin numarası 3'tür, \(3+3=6\), 6 numaralı harf F'dir. Z'ye gelince alfabe başa sarar: Z (28) + 3 = 31, \(31 \bmod 29 = 2\), yani C.
Saat 10'dan 5 saat sonra saat 15 değil 3 olur, çünkü saat 12'de başa sarar. Matematikte bunu \(15 \bmod 12 = 3\) diye yazarız: 15'i 12'ye böldüğümüzde kalan 3'tür. Sezar şifresi 29 saatlik bir saat gibidir. Bu yazının ilerleyen bölümlerinde aynı fikri 29 yerine yüzlerce basamaklı sayılarla kullanacağız; RSA'nın bütün sihri de bu "başa saran" aritmetikte saklı. Asal Sayı Avı yazısındaki modüler aritmetik kutusu aynı kavramı başka örneklerle anlatıyor.
Sezar şifresinde yalnızca 29 anahtar vardır (\(k=0\) hiçbir şey değiştirmez, yani işe yarayan 28 tane). Eve hepsini sırayla deneyerek birkaç saniyede mesajı okur. Buna kaba kuvvet saldırısı (brute-force attack) denir. Harfleri rastgele karıştırırsanız (basit yerine koyma şifresi, substitution cipher) anahtar sayısı \(29! \approx 8{,}8\times10^{30}\) olur; bunları tek tek denemek imkânsızdır. Ama birazdan göreceğimiz gibi büyük bir anahtar uzayı, güvenlik için yeterli değildir.
1883'te Hollandalı dilbilimci Auguste Kerckhoffs, iyi bir şifre sisteminin düşmanın eline geçse bile güvenli kalması gerektiğini yazdı. Yani yöntemin herkesçe bilindiğini varsaymalı, tüm gizliliği anahtara yüklemeliyiz. Bugünkü bütün standart şifreler (AES, RSA, ML-KEM) bu ilkeye göre tasarlanır: algoritmaları herkese açıktır, dünyanın her yerindeki matematikçiler onlara saldırmaya çalışır, dayananlar güven kazanır.
1970'lere kadar bilinen bütün şifreler simetrikti: şifreleyen ve çözen aynı anahtarı kullanır. Bunun büyük bir sorunu var: Alice ile Bob anahtarı önceden, güvenli bir yoldan paylaşmak zorundadır. İnternette hiç tanımadığınız bir sunucuyla bunu nasıl yapacaksınız?
Açık anahtarlı (public-key, asimetrik) şifrelemede iki ayrı anahtar vardır. Bir asma kilit düşünün: Bob açık kilitlerini herkese dağıtır (açık anahtar), ama anahtarı yalnızca kendisinde durur (gizli anahtar). Alice mesajı kutuya koyup Bob'un kilidiyle kilitler; bundan sonra kutuyu Alice bile açamaz. Bu fikrin matematiksel karşılığını bulmak, şifreleme tarihinin en büyük dönüm noktasıdır.
2500 Yıllık Bir Saklambaç
Şifreleme tarihi bir yarış gibi ilerler: biri şifreyi geliştirir, biri kırar, kırılan yöntemin yerine daha güçlüsü gelir. Her durakta hem yeni fikri hem de o fikrin neden yetmediğini göreceğiz.
İbrani alfabesinin ilk harfi (alef) sonuncusuyla (tav), ikincisi (bet) sondan ikincisiyle (şin) yer değiştirir; yöntemin adı da bu dört harften gelir. Yeremya Kitabı'nda Babil'in adı bu yolla "Şeşak" biçiminde geçer. Atbaş'ın anahtarı yoktur, yöntemi bilen herkes okur. Yani bir şifreden çok, metne gizem katan bir oyundur. CryptoMath yarışmasının ilk tanıttığı tekniklerden biri de budur.
Bir şerit bir çubuğa sarılır, mesaj çubuk boyunca yazılır, şerit çözülünce harfler karışık görünür. Aynı kalınlıkta çubuğu olan okuyabilir. Bu, yer değiştirme (transposition) şifrelerinin bilinen en eski örneğidir: harfler aynı kalır, yerleri değişir. Tarihçiler skitalin gerçekten gizlilik için mi, yoksa mesajın doğruluğunu kanıtlamak için mi kullanıldığını hâlâ tartışıyor.
Suetonius, Caesar'ın gizli mektuplarında her harfi alfabede üç sonraki harfle değiştirdiğini, yeğeni Augustus'un ise bir harf kaydırmayı tercih ettiğini yazar. Dönemin okuryazarlık düzeyi düşünüldüğünde bu kadarı bile işe yarıyordu. Ama 29 (Latin alfabesinde 23) anahtarlık bir sistem, sistemi bilen birine karşı hiçbir koruma sağlamaz.
Beytü'l-Hikme'de çalışan filozof ve matematikçi el-Kindî, şifreleme tarihindeki ilk büyük kırma yöntemini yazdı: her dilde bazı harfler diğerlerinden çok daha sık kullanılır. Şifreli metindeki en sık harf, büyük olasılıkla dilin en sık harfidir. Böylece \(8{,}8\times10^{30}\) anahtarlı yerine koyma şifreleri bile bir kâğıt ve kalemle çözülebilir hâle geldi. Bu risale aynı zamanda istatistiksel düşüncenin bilinen en eski örneklerinden biri sayılıyor.
El-Kindî'nin risalesi yüzyıllarca kayıp sanıldı. Bilinen el yazması İstanbul'daki Süleymaniye Kütüphanesi'nde bulundu; Muhammed Mrayati, Yahya Mir Alem ve Muhammed Hassan et-Tayyan tarafından incelenerek 1987'de Şam'da yayımlandı. Batı Avrupa'nın frekans analizini ancak 15. ve 16. yüzyıllarda sistemli biçimde kullanmaya başladığı düşünülürse, el-Kindî bu konuda yaklaşık 600 yıl öndeydi.
Rönesans mimarı Alberti, iç içe dönen iki diskten oluşan bir şifre çarkı tasarladı ve mesajın ortasında diski çevirerek alfabeyi değiştirmeyi önerdi. Böylece aynı düz harf, metnin farklı yerlerinde farklı şifreli harflere dönüşür ve frekans analizi bulanıklaşır. Bu, çok alfabeli (polyalphabetic) şifrelerin başlangıcıdır. Sayfanın başındaki çark, Alberti diskinin sadeleştirilmiş bir hâlidir.
Bellaso, kaydırma miktarını bir anahtar kelimenin harflerinden almayı önerdi: anahtar KİNDİ ise birinci harf K kadar, ikinci harf İ kadar kaydırılır ve anahtar tekrar eder. Yöntem, daha sonra başka bir sistem öneren Fransız diplomat Vigenère'in adıyla anıldı (tarihin isim hatalarından biri). Yaklaşık üç yüzyıl boyunca "le chiffre indéchiffrable", yani çözülemez şifre olarak ün kazandı.
Anahtar tekrar ettiği için şifreli metinde de tekrarlar oluşur: aynı hece, anahtarın aynı noktasına denk geldiğinde aynı şekilde şifrelenir. Tekrarlar arasındaki uzaklıkların ortak bölenleri anahtarın uzunluğunu ele verir. Uzunluk bilinince metin, her biri basit bir Sezar şifresi olan birkaç parçaya ayrılır ve her parçaya el-Kindî'nin yöntemi uygulanır. Babbage bunu yaklaşık 1854'te başarmış ama yayımlamamıştı; ilk yayımlayan Prusyalı subay Kasiski oldu.
Birinci Dünya Savaşı'nda İngiliz kod kırıcılar, Almanya'nın Meksika'ya ittifak öneren Zimmermann telgrafını çözdü; telgrafın açıklanması ABD'nin savaşa girme kararında önemli rol oynadı. Aynı yıllarda Vernam, teleks sinyallerini bir anahtar şeridiyle birleştiren bir makine geliştirdi. Mauborgne'nin katkısıyla anahtar mesaj kadar uzun, tamamen rastgele ve tek kullanımlık olursa şifrenin kırılamayacağı fark edildi. Bu fikrin kanıtı otuz yıl sonra gelecekti.
Alman Enigma makinesi, her tuşa basışta dönen rotorlarıyla her harf için ayrı bir alfabe kullanıyordu. 1932'nin sonunda Polonyalı matematikçi Rejewski, permütasyon grupları teorisini kullanarak makinenin iç bağlantılarını matematiksel olarak yeniden kurdu. Temmuz 1939'da Polonyalılar bulgularını İngiliz ve Fransız müttefikleriyle paylaştı. Bletchley Park'ta Alan Turing ve Gordon Welchman, olası anahtarları elektromekanik olarak eleyen "Bombe" makinelerini tasarladı. Kırılan şifreler savaşın seyrini etkiledi ve hesaplama makinelerinin gelişimini hızlandırdı.
Bilgi kuramının kurucusu Shannon, savaş sırasında gizli bir rapor olarak yazdığı çalışmayı 1949'da yayımladı. Tek kullanımlık şeridin mükemmel gizlilik sağladığını kanıtladı: şifreli metin, düz metin hakkında hiçbir bilgi taşımaz. Aynı makale, mükemmel gizliliğin bedelini de gösterdi: anahtar en az mesaj kadar uzun olmalı. Kriptografi bu makaleyle bir sanat olmaktan çıkıp bir bilim dalına dönüştü.
Ellis 1970'te "gizli olmayan şifreleme" fikrini ortaya attı ama matematiksel bir yöntem bulamadı. 1973'te genç matematikçi Cocks, bugün RSA dediğimiz sistemin özünü yarım saatte buldu; 1974'te Williamson, Diffie–Hellman anahtar değişiminin eşdeğerini geliştirdi. Hepsi devlet sırrı olarak saklandı ve 1997'ye kadar açıklanmadı. Bu yüzden aşağıdaki iki keşif, gerçekte ikinci kez yapılmış keşiflerdir; ama dünyaya açılan ve geliştirilen onlar oldu.
Bu makale iki şey yaptı. Birincisi, açık anahtarlı şifreleme ve dijital imza kavramlarını tanımladı. İkincisi, birbirini hiç görmemiş iki kişinin herkesin dinlediği bir kanal üzerinden ortak bir gizli anahtar oluşturmasını sağlayan bir yöntem verdi. Güvenliği, modüler üs almanın kolay, tersini almanın (ayrık logaritma) zor olmasına dayanıyordu. Ralph Merkle'nin bağımsız olarak geliştirdiği "bulmacalar" yöntemi de aynı düşüncenin öncüllerindendir. Laboratuvar bölümünde bu yöntemi deneyebilirsiniz.
Diffie ve Hellman'ın tarif ettiği ama inşa edemediği "kapanlı kapı" fonksiyonunu RSA buldu: iki büyük asal sayıyı çarpmak kolaydır, ama çarpımdan asalları geri bulmak çok zordur. Martin Gardner, Ağustos 1977'de Scientific American'daki köşesinde sistemi tanıttı ve 129 basamaklı bir sayıyla şifrelenmiş bir mesaj yayımladı (RSA-129). Yazarlar bunun çözülmesinin milyonlarca yıl süreceğini tahmin ediyordu. Yöntemin makalesi 1978'de Communications of the ACM'de yayımlandı.
Milyonlarca yıl sürmesi beklenen RSA-129, internet üzerinden birleşen gönüllülerin bilgisayarlarıyla 17 yılda çözüldü. Gizli mesaj: "The Magic Words are Squeamish Ossifrage". Ders şuydu: tehlike, bilgisayarların hızlanmasından çok algoritmaların gelişmesinden geliyordu. Aynı yıl Bell Laboratuvarları'ndan Peter Shor, yeterince büyük bir kuantum bilgisayarın çarpanlara ayırmayı ve ayrık logaritmayı hızlıca çözebileceğini gösterdi. Bu, RSA'nın da Diffie–Hellman'ın da uzun vadede güvende olmadığı anlamına geliyordu.
Simetrik şifreler de değişti. 1977'de standart olan DES'in 56 bitlik anahtarı, 1998'de bu iş için özel olarak yapılmış bir makineyle 56 saatte kırıldı. NIST bunun üzerine açık bir uluslararası yarışma düzenledi; Belçikalı Daemen ve Rijmen'in Rijndael algoritması 2001'de AES adıyla standart oldu. Bugün internet trafiğinin büyük kısmı, açık anahtarlı bir yöntemle kararlaştırılan AES anahtarlarıyla şifreleniyor. Kerckhoffs ilkesinin en güzel uygulaması: herkesin gözü önünde seçilmiş bir şifre.
NIST 2016'da kuantum bilgisayarlara dayanıklı yeni yöntemler için çağrı yaptı. Yıllar süren elemelerde ilginç bir olay yaşandı: finale kalan adaylardan SIKE, 2022'de Wouter Castryck ve Thomas Decru tarafından sıradan bir bilgisayarda yaklaşık bir saatte kırıldı. 13 Ağustos 2024'te ilk üç standart yayımlandı: anahtar oluşturma için ML-KEM (FIPS 203) ve imza için ML-DSA (FIPS 204) ile SLH-DSA (FIPS 205). 11 Mart 2025'te farklı bir matematiğe dayanan HQC, ML-KEM'in yedeği olarak seçildi. FALCON tabanlı FN-DSA (FIPS 206) standardı ise hâlâ hazırlanıyor.
2019'daki tahmine göre 2048 bitlik bir RSA anahtarını kırmak için yaklaşık 20 milyon fiziksel kübitle 8 saat gerekiyordu. Gidney Mayıs 2025'te bu sayıyı, işlemin bir haftadan kısa süreceği varsayımıyla bir milyonun altına indirdi. Bugünkü kuantum bilgisayarlar bu ölçeğin çok uzağında, ama tahminin altı yılda yirmi kat küçülmesi, geçiş takvimlerinin neden aciliyet kazandığını gösteriyor.
1991'den beri çözülmeyi bekleyen 260 basamaklı (862 bit) RSA-260, Eylül 2026'da çarpanlarına ayrıldı. Duyuruya göre hesaplama, sayı cismi eleği algoritmasının ekran kartlarına (GPU) uyarlanmış bir sürümüyle, yaklaşık 13,5 GPU-yılı sürdü; uyarlamanın yazılmasında bir yapay zekâ kodlama ajanından yararlanıldı. Bulunan iki asalın çarpımı herkes tarafından kolayca doğrulanabiliyor, ama hesaplamanın ayrıntıları henüz bağımsız bir yayında incelenmedi. 2048 bitlik anahtarlar için bu sonuç doğrudan bir tehdit değil; ama yine aynı ders: donanım ve yazılım birlikte ilerliyor.
Kendi Elinizle
Aşağıdaki beş araç, zaman çizelgesindeki fikirleri sırayla deneyebilmeniz için hazırlandı. Her birinde önce tahmin edin, sonra deneyin: el-Kindî'nin yöntemi ne kadar metinle işe yarıyor? Bir anahtar kelime frekansları ne kadar gizleyebiliyor? Eve, herkesin duyduğu sayılardan ortak sırrı çıkarabilir mi?
Aşağıdaki metin, bilinmeyen bir \(k\) ile Sezar şifresine sokuldu. Mavi çubuklar şifreli metindeki harf sıklıklarını, gri çubuklar Türkçe metindeki tipik sıklıkları gösteriyor. Türkçede en sık harf A'dır; şifreli metindeki en yüksek mavi çubuk hangi harfte? Araç, 29 olası anahtarın her birini deneyip Türkçeye en çok benzeyen sonucu öne çıkarıyor. Kendi metninizi de yapıştırabilirsiniz.
Gri çubuklar, sayfa açıldığında bu yazının kendi Türkçe metni taranarak hesaplanıyor (araçlar, tablolar ve kaynakça dışarıda bırakılarak birkaç bin harf). Yani karşılaştırma, uydurma bir tablo yerine gerçek bir Türkçe örneklemle yapılıyor. El-Kindî de aynı şeyi önerir: çözmek istediğiniz dilde, aynı türden ve yeterince uzun bir metin bulun, harflerini sayın. Benzerlik ölçüsü olarak istatistikte yaygın kullanılan ki-kare (\(\chi^2\)) değeri kullanılıyor: değer ne kadar küçükse dağılımlar o kadar benzer. Kısa metinlerde (bir iki cümle) yöntemin şaşırabildiğini kendiniz görebilirsiniz.
Bellaso–Vigenère şifresinde anahtar kelime tekrar ederek metnin altına yazılır, her harf altındaki anahtar harfi kadar kaydırılır. Sol grafik düz metnin, sağdaki şifreli metnin harf dağılımını gösteriyor. Anahtarı uzattıkça sağ grafiğin nasıl düzleştiğine bakın. Ardından Kasiski yönteminin, şifreli metindeki tekrarlardan anahtarın uzunluğunu nasıl tahmin ettiğini izleyin. Tahmin bazen anahtarın bir bölenine düşer (4 yerine 2 gibi); kriptanalistler de bu yüzden birkaç uzunluğu birden dener.
Alice ve Bob herkesin bildiği iki sayı seçer: bir asal \(p\) ve bir taban \(g\). Alice gizli bir \(a\), Bob gizli bir \(b\) seçer. Alice \(A=g^a \bmod p\), Bob \(B=g^b \bmod p\) değerini açıkça gönderir. Sonra her biri, karşı tarafın sayısını kendi gizli üssüyle üsse alır:
İkisi aynı sayıya ulaşır, ama bu sayı hiçbir zaman kanaldan geçmez. Eve yalnızca \(p, g, A, B\) değerlerini görür. \(a\)'yı bulmak için \(g^x \bmod p = A\) denklemini çözmesi gerekir: buna ayrık logaritma problemi denir.
RSA'nın tarifi beş adımdır. (1) İki asal seçin: \(p\) ve \(q\). (2) \(n=p\cdot q\) çarpımını hesaplayın. (3) \(\varphi(n)=(p-1)(q-1)\) değerini hesaplayın. (4) \(\varphi(n)\) ile ortak böleni olmayan bir \(e\) seçin. (5) \(e\cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}\) koşulunu sağlayan \(d\)'yi bulun. Açık anahtar \((n, e)\), gizli anahtar \(d\)'dir:
Araç her harfi ayrı ayrı şifreliyor. "ŞİFRE" yerine "ŞİŞE" yazın: iki Ş aynı sayıya dönüşür. Bu da el-Kindî'nin frekans analizine kapı açar! Gerçek RSA'da mesaj önce rastgele bir dolgu (padding) ile karıştırılır, sayılar da yüzlerce basamaklıdır. Ders kitabındaki "çıplak" RSA ile gerçek dünyadaki RSA arasındaki fark, Derinlemesine bölümünün 4. başlığında.
RSA'nın güvenliği, Eve'in \(n\)'den \(p\) ve \(q\)'yu bulamamasına dayanır. Aşağıda rastgele iki asal çarpılıyor ve tarayıcınız çarpımı en basit yöntemle, deneme bölmesiyle (2, 3, 5, 7, … diye sırayla bölerek) ayırmaya çalışıyor. Basamak sayısını artırdıkça sürenin nasıl büyüdüğüne bakın.
Araştırmacının Pusulası
Aşağıdaki sekiz başlık, laboratuvarda denediğiniz yöntemlerin arkasındaki matematiği ve bugün hâlâ açık olan soruları ele alıyor. Her başlıkta bir durum etiketi var: kanıtlanmış, açık soru, bilinen saldırı ya da araç-veri.
1640'ta Pierre de Fermat, \(p\) asal ve \(a\) sayısı \(p\)'ye bölünmüyorsa \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) olduğunu fark etti (Fermat'nın küçük teoremi). Euler bunu her \(n\) için genelleştirdi: \(a\) ile \(n\) aralarında asalsa
Burada \(\varphi(n)\), 1'den \(n\)'ye kadar \(n\) ile ortak böleni olmayan sayıların adedidir. \(n=pq\) için bu sayı \((p-1)(q-1)\)'dir. RSA'da \(ed = 1 + t\,\varphi(n)\) olacak şekilde seçildiği için:
Yani şifreyi çözmek, 360 yıllık bir teoremin doğrudan sonucudur. (\(m\)'nin \(n\) ile ortak böleni olduğu nadir durumda da sonuç doğrudur; bunu Çin kalan teoremiyle göstermek iyi bir alıştırmadır.) Fermat'nın sayı teorisindeki diğer mirası için Pisagor Üçlülerinden Fermat'nın Son Teoremi'ne yazısına bakabilirsiniz.
Bob, \(e\cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)}\) denklemini nasıl çözer? Öklid'in "Elementler"de verdiği en büyük ortak bölen algoritmasını geriye doğru işleterek. Klasik örnek: \(p=61\), \(q=53\), \(n=3233\), \(\varphi(n)=3120\), \(e=17\).
| Bölme adımı | Geriye doğru yazış |
|---|---|
| \(3120 = 183\cdot 17 + 9\) | \(9 = 3120 - 183\cdot 17\) |
| \(17 = 1\cdot 9 + 8\) | \(8 = 17 - 9\) |
| \(9 = 1\cdot 8 + 1\) | \(1 = 9 - 8 = 2\cdot 9 - 17 = 2\cdot 3120 - 367\cdot 17\) |
Son satır \(-367\cdot 17 \equiv 1 \pmod{3120}\) diyor. Pozitif yapmak için 3120 ekleriz: \(d = 2753\). Gerçekten \(17\cdot 2753 = 46801 = 15\cdot 3120 + 1\). Algoritma, basamak sayısıyla orantılı adımda biter; 600 basamaklı sayılarla bile anında çalışır. RSA'nın bütün "kolay" işlemleri (asal bulma, çarpma, üs alma, ters bulma) böyle hızlıdır; zor olan tek şey geriye doğru çarpanlara ayırmaktır.
Şaşırtıcı ama bu sorunun cevabı bilinmiyor. Bilinenler şunlar: \(n\)'nin çarpanlarını bilen, \(d\)'yi hemen bulur. Tersine, \(d\)'yi bilen biri \(n\)'yi verimli biçimde çarpanlarına ayırabilir (bu kanıtlanmıştır). Ama Eve'in amacı \(d\)'yi bulmak değil, tek bir mesajı okumaktır: \(c\)'den \(m\)'yi, yani "\(e\). dereceden kök almayı" bulmak. Buna RSA problemi denir ve çarpanlara ayırmadan daha kolay olup olmadığı açıktır. 1998'de Dan Boneh ve Ramarathnam Venkatesan, küçük \(e\) değerleri için RSA probleminin çarpanlara ayırmaya "eşdeğer olmayabileceğine" dair kanıtlar sundu.
Kriptografideki "zor", "imkânsız" değil, "bilinen en iyi yöntemle evrenin yaşından uzun sürer" demektir. Çarpanlara ayırmanın gerçekten zor olduğu, yani hızlı bir klasik algoritmasının olmadığı kanıtlanmamıştır. Bu, bilgisayar biliminin en büyük açık sorusu olan P ve NP probleminden bile daha özel bir sorudur. Modern kriptografi, kanıtlanmış zorluk yerine "yüzlerce yıllık çabaya dayanmış zorluk" üzerine kuruludur.
Laboratuvardaki oyuncak RSA'nın üç zaafı, gerçek sistemlerin neden daha karmaşık olduğunu gösterir:
Çözüm, mesajı şifrelemeden önce rastgele bir dolgu (padding) ile karıştırmaktır. Bellare ve Rogaway'in 1994'te önerdiği OAEP bugün standarttır. Daha eski PKCS #1 v1.5 dolgusuna Daniel Bleichenbacher 1998'de etkili bir saldırı buldu; aynı saldırının çeşitleri 20 yıl sonra bile gerçek sunucularda bulunmaya devam etti. Matematiksel olarak sağlam bir fikir, ancak dikkatli bir mühendislikle güvenli bir sisteme dönüşür.
Deneme bölmesi, \(n\)'nin karekökü kadar adım ister: 600 basamaklı bir sayı için \(10^{300}\) civarı. 1970'lerden bu yana algoritmalar büyük ilerleme kaydetti: Pollard'ın yöntemleri (1974–1975), Carl Pomerance'ın ikinci dereceden eleği (1981) ve 1990'larda geliştirilen genel sayı cismi eleği (GNFS). Bugünkü rekorların hepsi GNFS ile kırıldı. Yaklaşık çalışma süresi şöyledir:
Bu ifade karekökten çok daha yavaş büyür ama yine de "polinom" değildir. 2048 bitlik anahtarların bugün güvenli sayılmasının nedeni budur.
| Sayı | Büyüklük | Çarpanlarına ayrıldığı yıl |
|---|---|---|
| RSA-129 | 129 basamak (426 bit) | 1994 |
| RSA-155 | 155 basamak (512 bit) | 1999 |
| RSA-768 | 232 basamak (768 bit) | 2009 |
| RSA-240 | 240 basamak (795 bit) | 2019 |
| RSA-250 | 250 basamak (829 bit) | 2020 |
| RSA-260 | 260 basamak (862 bit) | 2026 (duyuru) |
| RSA-2048 | 617 basamak (2048 bit) | çözülmedi |
512 bitlik anahtarlar 1990'larda yaygın kullanılıyordu; 1999'daki rekorla birlikte terk edildi. Bugün en az 2048 bit öneriliyor.
Shor'un algoritmasının kuantum kısmı karmaşıktır, ama arkasındaki fikir klasik sayı teorisidir. Bir \(a\) seçin ve \(a^1, a^2, a^3, \dots\) değerlerinin \(\bmod N\) kalanlarına bakın. Bu dizi bir noktada kendini tekrar etmeye başlar; tekrarın uzunluğuna periyot (\(r\)) denir. \(r\) çiftse ve \(a^{r/2} \not\equiv -1\) ise
\(N\)'nin çarpanlarını verir. Klasik bilgisayar için zor olan, büyük \(N\) için \(r\)'yi bulmaktır. Kuantum bilgisayar ise kuantum Fourier dönüşümüyle periyodu verimli biçimde ortaya çıkarır. 2001'de IBM'de yürütülen bir deneyde 7 kübitlik bir sistemle \(15=3\times5\) bu yolla çarpanlarına ayrıldı. Aşağıda periyodu klasik yolla, tek tek sayarak bulabilirsiniz.
Kuantum bilgisayar henüz RSA'yı kıramıyor; peki neden şimdiden endişeleniliyor? Çünkü bugün kaydedilen şifreli trafik, yıllar sonra çözülebilir. Güvenlik uzmanları buna "şimdi topla, sonra çöz" (harvest now, decrypt later) diyor. On yıl gizli kalması gereken bir bilgi, bugünden kuantum sonrası yöntemlerle korunmalıdır.
Yeni standartların çoğu kafeslere (lattice) dayanıyor. Kafes, uzayda düzenli dizilmiş noktalar kümesidir. Yüzlerce boyutlu bir kafeste, verilen bir noktaya en yakın kafes noktasını bulmak çok zordur; üstelik kuantum bilgisayarların da bunu hızlandıran bilinen bir yöntemi yoktur. Oded Regev'in 2005'te tanımladığı hatalarla öğrenme (learning with errors, LWE) problemi, bu zorluğu şifrelemeye taşır: doğrusal denklemlere küçük rastgele hatalar eklendiğinde, denklemleri çözmek birden umutsuzca zorlaşır. ML-KEM bu ailenin bir üyesidir.
Finale kadar yükselen SIKE'ın 2022'de bir dizüstü bilgisayarla kırılması bir başarısızlık değil, sistemin işlediğinin kanıtıydı: algoritmalar açıkça yayımlandı, dünyanın dört bir yanından araştırmacılar saldırdı, zayıf olan standart olmadan elendi. Bu yüzden NIST, farklı matematiğe dayanan yedekler (SLH-DSA, HQC) de seçti. NIST'in 2024'te taslak olarak yayımladığı geçiş planı (NIST IR 8547), RSA ve eliptik eğri tabanlı yöntemlerin 2030'dan itibaren kullanımdan kaldırılmaya başlanmasını, 2035'ten sonra ise yasaklanmasını öngörüyor.
Tek kullanımlık şerit mükemmel gizlilik sağlar: Eve'in bilgisayarı ne kadar güçlü olursa olsun, şifreli metin her olası düz metne eşit olasılıkla karşılık gelir. Ama üç koşulun hepsi sağlanmalıdır: anahtar gerçekten rastgele, en az mesaj kadar uzun ve yalnızca bir kez kullanılmış olmalı. Sovyet istihbaratı 1940'larda şerit üretiminde sıkıntı yaşayınca bazı sayfaları tekrar kullandı; ABD'nin Venona projesi bu tekrarlardan yararlanarak binlerce mesajı kısmen çözdü. Her mesaj için mesaj boyunda yeni bir anahtar dağıtmak, en baştaki anahtar dağıtma sorununu büyütür. Açık anahtarlı şifreleme tam da bu yüzden devrimdir: kanıtlanmış mükemmellikten, kullanılabilir güvenliğe geçiş.
Terim Sözlüğü
Kriptografi kaynaklarının büyük kısmı İngilizce. Aşağıdaki terimler, bu yazıdan sonra okuyacağınız makalelerde ve ders notlarında aradığınızı bulmanızı kolaylaştırmak için hazırlandı.
| Türkçe | İngilizce | Kısaca |
|---|---|---|
| Düz metin / şifreli metin | plaintext / ciphertext | Şifrelemeden önceki ve sonraki mesaj |
| Kriptografi / kriptanaliz | cryptography / cryptanalysis | Şifre tasarlama bilimi / şifre kırma bilimi; ikisine birden kriptoloji denir |
| Yerine koyma şifresi | substitution cipher | Her harfin başka bir harfle değiştirildiği şifre |
| Yer değiştirme şifresi | transposition cipher | Harflerin aynı kalıp sırasının değiştiği şifre |
| Çok alfabeli şifre | polyalphabetic cipher | Aynı harfin metnin farklı yerlerinde farklı şifrelendiği şifre |
| Frekans analizi | frequency analysis | Harf sıklıklarından yola çıkarak şifre kırma |
| Kaba kuvvet saldırısı | brute-force attack | Bütün anahtarları tek tek deneme |
| Anahtar uzayı | key space | Olası anahtarların tamamı |
| Tek kullanımlık şerit | one-time pad | Mesaj boyunda, rastgele ve bir kez kullanılan anahtar |
| Simetrik / açık anahtarlı şifreleme | symmetric / public-key cryptography | Tek ortak anahtar / açık ve gizli anahtar çifti |
| Kapanlı kapı fonksiyonu | trapdoor one-way function | Bir yönde kolay, gizli bilgi olmadan ters yönde zor fonksiyon |
| Ayrık logaritma problemi | discrete logarithm problem | \(g^x \equiv A \pmod p\) denkleminde \(x\)'i bulma |
| Çarpanlara ayırma | integer factorization | Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma |
| Euler'in phi fonksiyonu | Euler's totient function | \(n\) ile aralarında asal olan, \(n\)'den küçük sayıların adedi |
| Modüler ters | modular inverse | \(e\cdot d \equiv 1 \pmod m\) koşulunu sağlayan \(d\) |
| Dolgu | padding (OAEP) | Şifrelemeden önce mesaja eklenen rastgele yapı |
| Dijital imza | digital signature | Mesajın kimden geldiğini ve değişmediğini kanıtlayan matematiksel imza |
| Anahtar kapsülleme | key encapsulation mechanism (KEM) | Ortak simetrik anahtarı açık anahtarla güvenle iletme yöntemi |
| Kafes tabanlı kriptografi | lattice-based cryptography | Kafes problemlerinin zorluğuna dayanan şifreleme |
| Hatalarla öğrenme | learning with errors (LWE) | Gürültülü doğrusal denklemleri çözme problemi |
| Kuantum sonrası kriptografi | post-quantum cryptography (PQC) | Kuantum bilgisayarlara dayanıklı olduğu düşünülen yöntemler |
Buradan Nereye?
Bir konuyu derinleştirmenin en kısa yolu, doğru soruyu sormaktır. Aşağıdaki sorular, bir kitapta, bir ders notunda ya da bir yapay zekâ sohbetinde bu yazının bir adım ötesine geçmeniz için seçildi. Her birinin yanında aramaya nereden başlayabileceğiniz yazıyor.
Çin kalan teoremi, RSA'da çözme işlemini neden yaklaşık dört kat hızlandırır?
Anahtar kelimeler: Chinese remainder theorem, RSA-CRT. Ardından aynı hızlandırmanın neden "hata enjeksiyonu" (fault attack) saldırılarına kapı açtığını sorun.
Büyük asal sayılar nasıl bu kadar hızlı bulunur, bir sayının asal olduğundan nasıl emin olunur?
Anahtar kelimeler: Miller–Rabin, asal sayı teoremi. Asal Sayı Avı yazısındaki "üretmez, test eder" etiketli yöntemler iyi bir başlangıç.
Eliptik eğri kriptografisi, aynı güvenliği RSA'dan çok daha kısa anahtarlarla nasıl sağlar?
Anahtar kelimeler: elliptic curve discrete logarithm, Koblitz ve Miller (1985). Bir eğri üzerindeki "nokta toplama" işleminin geometrik tanımıyla başlayın.
Shor algoritmasında kuantum Fourier dönüşümü periyodu nasıl ortaya çıkarır?
Önce klasik ayrık Fourier dönüşümünü öğrenin; sonra Nielsen ve Chuang'ın kitabındaki ilgili bölüme geçin. Karmaşık sayılar burada da işin merkezinde.
Hatalarla öğrenme (LWE) problemi neden kafeslerdeki en kısa vektör problemi kadar zordur?
Anahtar kelimeler: worst-case to average-case reduction, Regev (2005), Ajtai (1996). Oded Regev'in ders notları açık erişimdedir.
Sıfır bilgili ispat: bir şeyi bildiğimi, onu hiç açıklamadan nasıl kanıtlayabilirim?
Anahtar kelimeler: zero-knowledge proof, Goldwasser, Micali ve Rackoff (1985), "Ali Baba'nın mağarası" örneği. Bir graf boyama oyunuyla anlatılan örnek, graf teorisi yazısıyla da bağ kuruyor.
Bu Sayfada
Sezar'ın üç harflik kaydırması ile 2048 bitlik bir RSA anahtarı aynı soruya verilmiş iki cevaptır: Eve'in işini, Bob'un işinden çok daha zor hâle getirmek. Bu hikâyede neredeyse her ilerleme, bir öncekinin zaafını bulan biri sayesinde gerçekleşti. El-Kindî harf sıklıklarını, Kasiski tekrarları, Rejewski permütasyonları, Shor periyotları gördü. Asal Sayı Avı yazısındaki 2300 yıllık arayış burada pratik bir karşılık buluyor: Öklid'in tükenmeyen asalları, bugün internetteki güvenliğin hammaddesi. Çekirgeler Eğitim'in CryptoMath Şifrelerle Matematik Yarışması da bu hikâyenin ilk duraklarındaki tekniklerden yola çıkıyor.
Tek kullanımlık şerit mükemmel gizlilik sağlar (Shannon 1949). RSA'nın doğru çalışması Euler teoreminden çıkar. Yeterince büyük bir kuantum bilgisayar RSA'yı ve Diffie–Hellman'ı verimli biçimde kırar (Shor 1994). \(d\)'yi bulmak, çarpanlara ayırmak kadar zordur.
Çarpanlara ayırmanın hızlı bir klasik algoritması var mı? RSA problemi çarpanlara ayırmaya eşdeğer mi? Kafes problemleri kuantum bilgisayarlara karşı gerçekten dayanıklı mı? RSA-2048'i kırabilecek bir kuantum bilgisayar ne zaman, ya da hiç, inşa edilecek?
Belki de bu soruların birinin cevabı, bugün bu sayfadaki çarkı çeviren bir öğrenciden gelecek.
Kaynakça
Sayfadaki tarihler ve açıklamalar aşağıdaki özgün çalışmalara ve standart kaynaklara dayanmaktadır. Sayısal örnekler hesaplanarak doğrulanmıştır.
